Ein als ideal angenommenes Dreiecksignal mit einer Periodendauer von \(1\,\mathrm{ms}\) werde mit einer Abtastrate von \(10\,\mathrm{kHz}\) digitalisiert. Geben Sie an, ob in diesem Fall das Abtasttheorem nach Shannon erfüllt ist! Begründen Sie Ihre Antwort!
Welcher Effekt tritt ein, wenn das Abtasttheorem verletzt ist? Erläutern Sie diesen Effekt mit einer einfachen Skizze.
Aliasing bei der Digitalisierung von Musik
Sie planen, ein Musiksignal zu digitalisieren und hierfür einen A/D-Umsetzer mit einer Abtastfrequenz von \(44,1\,\mathrm{kHz}\) zu verwenden. Sie wissen, dass in dem analogen Musiksignal Frequenzanteile bis hinauf zu \(50\,\mathrm{kHz}\) enthalten sind, deren Amplitude nicht vernachlässigbar ist. Ihnen ist bewusst, dass für diese hohen Frequenzanteile das Abtasttheorem nach Shannon verletzt wird. Ihr Kommilitone schlägt vor, die A/D- Umsetzung dennoch wie geplant vorzunehmen und argumentiert, dass Frequenzen von über \(20\,\mathrm{kHz}\) für den Menschen ohnehin nicht hörbar seien und es daher keine Rolle spiele, wenn diese nicht korrekt digitalisiert werden.
Geben Sie an, ob Sie dieser Argumentation folgen würden oder nicht! Begründen Sie Ihre Antwort!
Aussschlagsmessbrücke
Gegeben ist eine Ausschlagmessbrücke bestehend aus den beiden Spannungsteilern \(R_1\) und \(R_2\), bzw. \(R_3\) und \(R_4\).
Berechnen Sie die Diagonalspannung \(U_d\) einer Ausschlag-Messbrücke.
:class: dropdown
* Schreiben Sie die beiden Spannungsteiler-Gleichungen auf
* Subtrahieren Sie die beiden Spannungswerte, z.B. $U_d = U_2-U_4$
Aufgabe 2: Sensor
Mit der Brücke soll die Widerstandsänderung \(\Delta R\) eines Sensors, gegeben durch \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) (Temperaturfehler \(\Delta R_T\)) erfasst werden. Die anderen Brückenwiderstände sind mit \(R_0\) anzunehmen.
Skizzieren Sie die Schaltung
Berechnen Sie \(U_d = f(U_0, \Delta R, \Delta R_T, R_0)\).
:class: dropdown
* Ersetzen Sie $R_2$ in der Gleichung von Aufgabe 1, sowie alle anderen Widerstände durch $R_0$ und vereinfachen Sie die Gleichung für $U_d$.
Aufgabe 3: Temperaturkompensation
Die Temperaturabhängigkeit \(\Delta R_T\) soll verringert werden. Hierzu steht Ihnen ein Widerstand mit identischem Temperaturverhalten zur Verfügung: \(R_K = R_0 + \Delta R_T\). Zeigen Sie, dass mit Hilfe von \(R_K\) der Einfluss von \(\Delta R_T\) stark reduziert werden kann. Gehen Sie folgendermaßen vor:
Geben Sie eine geeignete Brückenschaltung an.
Berechnen Sie \(U_d = f(U_0, \Delta R, \Delta R_T, R_0)\).(Zwischenergebnisse sind im nächsten Punkt angegeben.)
Berechnen Sie die Empfindlichkeit in Abhängigkeit von \(\Delta R_T\) für die beiden Fälle mit und ohne \(R_K\).
Bilden Sie den Quotienten aus beiden Resultaten, \(\frac{E_{1}}{E_{2}}\) und nähern Sie für \(\Delta R_{T} << R_{0}\).
:class: dropdown
* Setzen Sie $R_K$ an die Stelle von $R_1$, also in den gleichen Spannungsteiler.
* Die Empfindlichkeit berechnen Sie über die Ableitung, hier die Ableitung nach $d \Delta R_T$, wenn Sie die Empfindlichkeit für $\Delta R_T$ haben möchten.
Diagonalspannung mit Sensor bei \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) und Korrekturwiderstand gegen Temperaturänderungen, \(R_1 = R_K\) und Empfindlichkeit \(E_2\):
Verhältnis: Wir nehmen an, dass der Fehler aufgrund von Temperatur, \(\Delta R_T\), klein im Vergleich zum Widerstandswert \(R_0\) ist, sodass \(2 \Delta R_T \approx \Delta R_T\). Dadurch kürzt sich der Nenner weg, wenn die beiden Empfindlichkeiten ins Verhältnis gesetzt werden und es folgt:
Die Möglichkeit Temperatur zu unterdrücken wird hauptsächlich durch die Wahl von den nominellen Widerstandswerten \(R_0\) bestimmt, die in der Brücke verbaut sind, und der zu messenden Größe \(\Delta R\). Je größer der Abstand zwischen \(R_0\) und \(\Delta R\), desto besser ist die Rauschunterdrückung.
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blogpost: true
date: Dec 11, 2023
category: Übung
location: Zettel_10
tags: Widerstand, Messbrücke, Elektronik, Sensor, DMS
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# Bestimmung des Drehmomentes einer Welle
Das Drehmoment einer Welle wird mit Hilfe der DMS-Messtechnik gemessen. Dehnungsmessstreifen (DMS) ändern aufgrund einer relativen Längenänderung $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ ihren Widerstandswert $R(\epsilon) = k\epsilon$.
Der $k$-Faktor beträgt hier 2,01 und der Widerstand beträgt $300\,\Omega$. DMS messen entlang einer Achse Längenänderung.
In dieser Aufgaben sollen DMS benutzt werden, um das Drehmoment einer Welle zu bestimmen.
Sie können entsprechend der Skizze die DMS unter einem Winkel von 45 Grad zur Längsachse der Welle anbringen. Die DMS der +45 Grad-Linie werden dadurch um $+\epsilon$ gedehnt und die der -45 Grad-Linie werden betragsmäßig gleich groß um $-\epsilon$ gestaucht.
Die Welle hat einen Durchmesser $D = 3{,}1\,\mathrm{cm}$, einen Elastizitätsmodul $E = 20{,}5 \cdot 10^{4}\,\mathrm{N/mm^{2}}$ und eine Querdehnungszahl von $\mu = 0{,}31$. Es wird eine Wheatstonesche Messbrücke mit Gleichstromspeisung verwendet, die im Ausschlagverfahren arbeitet und mit einer Gleichspannung von $U = 3{,}5\,\mathrm V$ versorgt wird. Zwischen Drehmoment $M_{D}$ und Dehnung $\varepsilon$ besteht folgende Beziehung:
$$M_{D} = \frac{E \pi D^{3} \epsilon}{16 (1+\mu)}$$
Die Formel für die Diagonalspannung $U_{d}$ in Abhängigkeit von $\epsilon$ ist:
$$U_{d} = \frac{1}{2}U_{0}k \epsilon$$
1. Die Brücke soll abgeglichen sein, wenn kein Drehmoment angreift. Wie groß sind die übrigen beiden Widerstände der Messbrücke?
```{tip}
:class: dropdown
Für den Abgleich gilt $U_d = 0$ und somit
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$$
Ist die von Ihnen gewählte Messbrücke temperaturkompensiert?
:class: dropdown
Vergleichen Sie hierfür die Anschaltung der DMS mit der Aufgabe [Ausschlagsmessbrücke]{Aussschlag-Messbrücke.md}.
Wie groß ist der in einem der beiden DMS fließende Strom?
:class: dropdown
Benutzen Sie ohm'sches Gesetz und betrachten Sie die Masche ganz linka:
$$U_ 0 = RI$$
Wie berechnet sich $R$, bestehend aus einer Reihenschaltung der beiden DMS?
Wie groß ist das Drehmoment, wenn eine Brückenausgangsspannung von \(880\,\mathrm{\mu V}\) angezeigt wird?
:class: dropdown
Formen Sie die Gleichung $U_{d} = \frac{1}{2}U_{0}k \epsilon$ nach $\epsilon$ um und setzen sie die in die Gleichung für $M_D$ ein. Setzen Sie alle Werte ein. ($M_D = 229\,\mathrm{Nm}$)
Welcher relative Maximal-Fehler ergibt sich für das unter d) ermittelte Drehmoment, wenn der Wellendurchmesser einen Fehler von \(\pm 0,2\,\mathrm{mm}\) aufweist und die Brückenspeisespannung auf \(\pm 3\)% stabilisiert ist? Die übrigen Elemente der Messbrücke seien fehlerfrei.
:class: dropdown
Für den absoluten Maximalfehler gilt:
$$\Delta y = \left| \frac{\partial y}{\partial x_1} \right| \cdot \Delta x_1+ \left|\frac{\partial y}{\partial x_2} \right| \cdot \Delta x_2 + \cdots$$
Spezialfall: Bei Multiplkation/Division addieren sich die *relativen* Messabweichungen und es folgt für den relativen Fehler:
$$\pm \frac{\Delta M_D}{M_D} = 3 \cdot \frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta U_0}{U_0} = 4{,}935\%$$
Zur Darstellung von Übertragungsverhalten werden Bode-Diagramme zur Darstellung des Frequenzgangs benutzt. Durch die logarithmische Darstellung der Amplitudenverhältnisse lassen sich aus mehreren Übertragungssystemen zusammengesetzte Systeme leichter analysieren. Die logarithmische Darstellung bildet nämlich die Multiplikation der einzelnen Funktionen auf eine einfache Addition ab.
Es sei folgendes Übertragungssystem gegeben:
```{figure} pictures/bode.png :class: .dark-light — height: 150px name: optional-label — Übertragungssystem mit vier Gliedern.
welches aus einem P-Glied, einem D-Glied, einem PT1-Glied und einen PD-Glied besteht.
$$H_1 = 10$$
$$H_2 = s$$
$$H_3 = \frac{1}{1+\frac{s}{4}}$$
$$H_4 = 1+\frac{s}{60}$$
Erstellen Sie das Bode-Diagramm, indem Sie die Amplitudengänge in dB eintragen und anschließend grafisch addieren. Analog erstellen Sie das Phasengang-Diagramm.
````{tip}
:class: dropdown
Was gilt für die Hintereinanderschaltung von Messsystemen im Laplace, bzw. Frequenzbereich? Schreiben Sie die Gesamt-Übertragungsfunktion hin.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/cQH--8rpRw8?si=uPyVg9Jesb0BtUJU" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>
Dampfdruckthermometer Least-Square-Verfahren
Mit dem Dampfdruckthermometer kann die Temperatur aus dem Dampfdruck einer Flüssigkeit bestimmt werden. Die Flüssigkeit wird mit der Messstelle in einen thermischen Kontakt gebracht. Der Dampfdruck nimmt mit der Temperatur der Flüssigkeit beschleunigt zu und kann durch folgende Exponentialfunktion beschrieben werden:
\[ p_\mathrm{D}(T) = c \cdot \mathrm{e}^{-\frac{\Delta E}{kT}} \]
wobei \(c\) eine Konstante ist, \(k = 1{,}380649\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) die Boltzmann-Konstante und \(\Delta E\) die Verdampfungsenergie eines Moleküls. Durch Logarithmieren beider Seiten erhält man die äquivalente logarithmische Darstellung
\[\ln{p_\mathrm{D}} = A - B/T\]
mit den Materialkonstanten \(A\) und \(B\).
```{figure} pictures/dampfdruck.png
height: 100px
name: dampfdruck_ls
Kennlinie eines Dampfdruckthermometers
Bei der Least-Sqaure-Methode werden die Parameter (hier: $A$, $B$) wie folgt bestimmt:
$$b = A^{-1} \cdot y$$
Der Parametervektor $b$ bestimmt sich aus der Inversen der Funktionsmatrix $A$ und dem Messvektor $y$. Die Matrix $A$ enthält die Werte der Ansatzfunktion an den Messpunkten. Der Vektor $y$ enthält die Messwerte an den Stützstellen.
1. Bestimmen Sie die Materialkonstanten $A$, $B$ und $\Delta E$, $c$ mittels der Least-Square-Methode mit 3 Stützstellen.
1. Bestimmen Sie die Materialkonstanten $A$, $B$ und $\Delta E$, $c$ mittels der Least-Square-Methode mit 2 Stützstellen.
Hinweis: Um eine nicht quadratische Matrix zu invertieren, bilden Sie die Pseudoinverse $A^+$ der Matrix $A$:
$$A^+ = \left( A^T \cdot A\right)^{-1} \cdot A^T$$
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blogpost: true
date: Oct 18, 2023
category: Übung
location: Zettel_3
tags: Kennlinie, Empfindlichkeit
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# Dampfdruckthermometer
Mit dem Dampfdruckthermometer kann die Temperatur aus dem Dampfdruck einer Flüssigkeit bestimmt werden. Die Flüssigkeit wird mit der Messstelle in einen thermischen Kontakt gebracht. Der Dampfdruck nimmt mit der Temperatur der Flüssigkeit beschleunigt zu und kann durch folgende Exponentialfunktion beschrieben werden:
$$ p_\mathrm{D}(T) = c \cdot \mathrm{e}^{-\frac{\Delta E}{kT}} $$
wobei $c$ eine Konstante ist, $k = 1{,}380649\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ die Boltzmann-Konstante und $\Delta E$ die Verdampfungsenergie eines Moleküls. Durch Logarithmieren beider Seiten erhält man die äquivalente logarithmische Darstellung
$$\ln{p_\mathrm{D}} = A - B/T$$
mit den Materialkonstanten $A$ und $B$.
Bei richtiger Anpassung der Flüssigkeit an den zu messenden Temperaturbereich können sehr hohe Empfindlichkeiten erreicht werden, so dass die erforderliche Druckmessung mit einfachen Mitteln (beispielsweise einem Quecksilbermanometer) ausgeführt werden kann.
```{figure} pictures/dampfdruck.png
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height: 100px
name: dampfdruck
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Kennlinie eines Dampfdruckthermometers
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die Materialkonstanten \(A\), \(B\) und \(\Delta E\), \(c\) für Wasser.
Bestimmen Sie die Empfindlichkeit bei den Temperaturen 20°C und 200°C.
Welche Empfindlichkeit erreicht ein Helium-Dampfdruckthermometer bei 1K (\(A_\mathrm{He} = 2\) und \(B_\mathrm{He} = 2{,}5\,\mathrm{K}\)) und ein Neon-Dampfdruckthermometer bei 20K (\(A_\mathrm{O2} = 4{,}6\) und \(B_\mathrm{O2} = 106\,\mathrm{K}\))?
Dichtemessung einer Flüssigkeit
Die Dichte eines flüssigen Mediums kann unter Ausnutzung des Archimedischen Prinzips ermittelt werden. Hiernach taucht ein Körper so weit in eine Flüssigkeit ein, bis die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit der Gewichtskraft des eingetauchten Körpers entspricht. Je kleiner also die Dichte der zu untersuchenden Flüssigkeit ist, desto tiefer wird ein schwimmender Prüfkörper in diese eintauchen.
Für entsprechende Messungen verwendete Prüfkörper heißen Senkspindel oder Aräometer und bestehen vereinfacht aus einem zylindrischen Glaskörper, wie in der Abbildung skizziert.
Damit der Prüfkörper in der Flüssigkeit in aufrechter Lage stabil schwimmt, ist er in seinem unteren Teil mit einem meist aus Blei bestehenden Gewicht beschwert. Der zylindrische Glaskörper trägt eine Skala, an welcher die Eintauchtiefe des Prüfkörpers abgelesen werden kann.
Im vorliegenden Fall hat der Glaskörper die Masse \(m_\mathrm{Glas}\) und sei mit einem zusätzlichen Bleigewicht der Masse \(m_\mathrm{Blei}\) beschwert. Die Eintauchtiefe, gemessen von der Unterkante des zylindrischen Prüfkörpers bis zum Spiegel der Flüssigkeit, wird von der Skala angezeigt und sei mit \(h\) bezeichnet. Der zylindrische Prüfkörper weise über die gesamte Länge den Durchmesser \(d\) auf. Die Dichte \(\rho\) des zu untersuchenden Mediums ist dann näherungsweise durch folgenden Zusammenhang definiert:
\[\rho = \frac{m_\mathrm{Blei} + m_\mathrm{Glas}}{\frac{1}{4} \pi d^2 h }\]
Im Folgenden soll die Dichte \(\rho\) auf der Grundlage von Messergebnissen für die Größen \(m_\mathrm{Glas}\), \(m_\mathrm{Blei}\), \(d\) und \(h\) einschließlich der wahrscheinlichen Abweichungsgrenzen ermittelt werden.
Die Massen \(m_\mathrm{Glas}\) und \(m_\mathrm{Blei}\) werden in einer gemeinsamen Wägung mittels einer elektronischen Präzisionswaage ermittelt. Die von der Waage angezeigte gemeinsame Masse von Glaskörper und Bleigewicht beträgt \(M = (m_\mathrm{Glas}+m_\mathrm{Blei}) = 14\,\mathrm g\). Die relative Unsicherheit der Waage wird vom Hersteller mit \(0{,}5\%\) des Anzeigewertes bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 98\%\) angegeben.
Der Durchmesser \(d\) des Glaszylinders wurde in \(n_d = 25\) Wiederholungen mittels einer Bügelmessschraube gemessen. Das vollständige Messergebnis des Durchmessers beträgt \(d = 12\,\mathrm{mm} \pm 0{,}011\,\mathrm{mm}\) bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 90\%\).
Die Eintauchtiefe \(h\) wird in insgesamt \(n_h = 7\) Wiederholungen von der Skala abgelesen. Dabei werden die in der Tabelle zusammengefassten Einzelmesswerte ermittelt:
\(i\)
0
1
2
3
4
5
7
\(h/\mathrm{mm}\)
157,2
157,0
156,6
156,9
157,0
156,1
157,9
Bestimmen Sie die Eindringtiefe \(h\) inklusive absoluter Messabweichung für \(P=98\%\).
Bestimmen Sie die Dichte und die absolute Messabweichung.
````{admonition} Zwischenergebnisse :class: dropdown Zwischenergebnisse für 98% Aussagewahrscheinlichkeit:
Hinweis: Allgemein gilt für die Umrechnung zwischen zwei Aussagewahrscheinlichkeiten folgender Zusammenhang für die Unsicherheiten, wobei die Werte für $t_{s;p}$ der Tabelle im Anhang zu entnehmen sind:
$$ u_{\alpha 1} = u_{\alpha 2} \cdot \frac{t_{n-1; 1-\alpha 1 / 2}}{t_{n-1; 1-\alpha 2 / 2}}.$$
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blogpost: true
date: Nov 08, 2023
location: Zettel_6
category: Übung
tags: Digitalisierung, Quantisierungsabweichung, Messabweichung
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# Quantisierungsabweichung infolge der Digitalisierung
* Die relative Abweichung infolge der Quantisierung soll kleiner als 0,02% bleiben. Wie groß muss die Auflösung des zu verwendenden AD-Wandlers mindestens sein?
* AD-Wandler werden häufig mit einem Full-Scale-Wert von FS = 10 V realisiert. Wie groß ist der Spannungswert, der ein Umschalten des LSB bewirkt, für einen 10, 14 und 16-Bit AD-Wandler?
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blogpost: true
date: Nov 15, 2023
location: Probeklausur
category: Single-Choice
tags: Digitalisierung, Quantisierungsabweichung, Messabweichung
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# Digitalisierung
Ein analoges Spannungssignal im Bereich von $-12\,\mathrm{V}$ bis $+12\,\mathrm{V}$ soll so digitalisiert werden, dass die maximale Abweichung infolge von Quantisierung $100\,\mathrm{\upmu V}$ beträgt. Geben Sie an, mit wie viel Bit der A/D-Umsetzer mindestens arbeiten muss!
- $15$ Bit
- $16$ Bit
- $17$ Bit
- $18$ Bit
- $19$ Bit
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Single-Choice
tags: Digitalisierung, Quantisierungsabweichung
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# Digitalisierung
Ein analoges Spannungssignal im Bereich von $-12\,\mathrm V$ bis $+12\,\mathrm V$ soll so digitalisiert werden, dass der maximale Quantisierungsfehler $2\,\mathrm{mV}$ beträgt. Geben Sie an, mit wie viel Bit der A/D-Umsetzer mindestens arbeiten muss!
- $11$ Bit
- $12$ Bit
- $13$ Bit
- $14$ Bit
- $15$ Bit
- $16$ Bit
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Multiple-Choice
tags: Einheiten
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# Einheiten umrechnen
Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungen korrekt sind!
- $1\cdot 10^5\,\mathrm{mN}+0{,}1\,\mathrm{kN}=200\,\mathrm{N}$
- $100\,\mathrm{cm^3} + 0{,}1\,\mathrm{dm^3} = 2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3}$
- $100\,\mathrm{hPa}=1\,\mathrm{kPa}$
- $100\,\mathrm{\upmu g}=0{,}1\,\mathrm{mg}$
- $10\,\mathrm{kg} \cdot 100\,\mathrm{mm/s^2} = 1\,\mathrm{N}$
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blogpost: true
date: Nov 15, 2023
location: Probeklausur
category: Multiple-Choice
tags: Einheiten
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# Einheiten umrechnen
Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungen korrekt sind!
- $1\, \text{MPa} = 10^3\, \text{GPa}$
- $10^3\, \text{cm}^3 + 1\, \text{dm}^3 = 2 \cdot 10^{-3}\, \text{m}^3$
- $1000\, \mu\text{m/ms} = 1\, \text{m/s}$
- $100\, \text{nF} = 0,1 \, \text{pF}$
- $2\, \text{mA} + 200\, \mu\text{A} = 2,2 \cdot 10^{-3}\, \text{A}$
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blogpost: true
date: Nov 08, 2023
location: Zettel_6
category: Übung
tags: Mittelwert, Kenngrößen, Wechselspannung
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# Einweg-Gleichrichter
```{figure} pictures/gleichrichter2.png
:class: .dark-light
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height: 100px
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Einweg-Gleichrichter
```
Gegeben sei eine sinusförmige Spannung $u(t)$ mit einer Amplitude von $5\,\mathrm V$ und der Periode $T$.
Skizzieren Sie den Kurvenverlauf der Spannung bei einer Einweg-Gleichrichtung und berechnen Sie den Einweg-Gleichrichtwert. Der quadratische Mittelwert der Wechselspannung wird gemessen, welcher Wert ergibt sich hier? Welche Werte folgen für Scheitel- und Formfaktor?
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Multiple-Choice
tags: Empfindlichkeit
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# Empfindlichkeit eines Messgerätes
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen hinsichtlich der Empfindlichkeit eines Messgerätes zutreffend sind!
- Die Empfindlichkeit eines Messgerätes ist definiert als Steigung der Kennlinie im jeweiligen Arbeitspunkt.
- Der k-Faktor bzw. die Dehnungsempfindlichkeit beim Dehnungsmessstreifen ist materialunabhängig.
- Die Linearitätsabweichung von Kennlinien kann in Kalibrier- und Eichlaboren bestimmt werden.
- Um die Gesamtempfindlichkeit zu ermitteln, werden die Empfindlichkeiten der einzelnen Glieder einer Messkette aneinander addiert.
- Durch Herabsetzen des Messbereiches können Nichtlinearitäten in der Kennlinie vermieden werden.
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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: Zettel_8
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Sprung
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# Faltungsintegral
Gegeben sei ein RC-Tiefpass 1. Ordnung. Die Impulsantwort $h(t)$ ist für $T = RC$ wiefolgt gegeben:
$$h(t) = \frac{1}{T}\epsilon(t) \mathrm e^{-t/T}$$
wobei
$$\epsilon(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)$$
gilt und $\mathrm{sgn}(t)$ die "Vorzeichenfunktion" ist:
$$\mathrm{sgn}(x) = 2 H(x) - 1$$
mit der Heaviside-Funktion $H(x)$
\begin{align}
H \colon \; & \mathcal R \to \{0,1\} \\
\ & x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
1 : & x \ge 0
\end{cases}
\end{align}
## Aufgabe 1: Sprungantwort
Berechnen Sie mit Hilfe des Faltungsintegrals die Sprungantwort $y(t)$ des Systems.
* Zu welcher Zeit werden 63\% und 95\% des Endwertes erreicht?
* Skizzieren Sie Impulsanregung und Impulsantwort, sowie Sprunganregung und Sprungantwort.
````{tip}
:class: dropdown
Die angelegte Sprungfunktion kann über die Heaviside Funktion ausgedrückt werden: $f(\tau) = x_0 \cdot H(\tau)$. Berechnen Sie dann das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen aufgeteilt werden können.
$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = x_0 \left( \mathrm e^{-t/\tau} \right)$$
Aufgabe 2: Systemantwort
Berechnen Sie die Systemantwort \(y(t)\) bei einer sprunghaften Anregung \(u(t)\) mit Hilfe des Faltungsintegrals (\(T_0 > T\)).
:class: dropdown
Berechnen Sie das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen und Rechteckpuls aufgeteilt werden können.
$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = 1- \mathrm e^{-t/\tau} $$
Fourierreihe einer Dreieck-Schwingung
Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Dreieck-Schwingung. Wie lauten die Koeffizienten für \(k = 1,2,3,4,5\)? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.
````{admonition} Formeln für die rellen Fourier-Reihen
:class: dropdown
Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um $x(t)$ in einer Reihe zu entwickeln:
$$x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)$$
Der Mittelwert (Gleichanteil) $x_0$ und die Koeffizienten, $a_k$ und $b_k$ berechnen sich durch die Integrale:
$$x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$$
$$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt $$
$$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt $$
````{admonition} Formeln für die komplexe Fourier-Reihen :class: dropdown
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:
\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]
Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:
Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:
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blogpost: true
date: Nov 01, 2023
location: Zettel_5
category: Übung
tags: Fourierreihe, Rechteck
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# Fourierreihe eines Rechteckpulses
Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Sägezahn-Spannung. Wie lauten die Koeffizienten für $k = 1,2,3,4,5$? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.
```{figure} pictures/functions1.png
:class: .dark-light
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height: 100px
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Rechtecksignal
```
````{admonition} Formeln für die rellen Fourier-Reihen
:class: dropdown
Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um $x(t)$ in einer Reihe zu entwickeln:
$$x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)$$
Der Mittelwert (Gleichanteil) $x_0$ und die Koeffizienten, $a_k$ und $b_k$ berechnen sich durch die Integrale:
$$x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$$
$$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt $$
$$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt $$
````{admonition} Formeln für die komplexe Fourier-Reihen :class: dropdown
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:
\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]
Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:
Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:
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blogpost: true
date: Nov 01, 2023
location: Zettel_5
category: Übung
tags: Fourierreihe, Sägezahn
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# Fourierreihe einer Sägezahn-Spannung
Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Sägezahn-Spannung. Wie lauten die Koeffizienten für $k = 1,2,3,4,5$? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.
```{figure} pictures/functions2.png
:class: .dark-light
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height: 100px
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Sägezahnsignal
```
````{admonition} Formeln für die rellen Fourier-Reihen
:class: dropdown
Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um $x(t)$ in einer Reihe zu entwickeln:
$$x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)$$
Der Mittelwert (Gleichanteil) $x_0$ und die Koeffizienten, $a_k$ und $b_k$ berechnen sich durch die Integrale:
$$x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$$
$$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt $$
$$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt $$
````{admonition} Formeln für die komplexe Fourier-Reihen :class: dropdown
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:
\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]
Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:
Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:
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blogpost: true
date: Nov 01, 2023
location: Zettel_5
category: Übung
tags: Fourier-Transformation, Rechteck
---
# Fourier-Transformation Rechteck
Gegeben ist die folgenden Zeitfunktionen $x(t)$:
```{figure} pictures/FT_rechteck.png
:class: .dark-light
---
height: 100px
---
Rechteckimplus $x(t)$ mit einer Amplitude $\hat x = 1$.
```
Berechnen Sie die Spektralfunktion $X(f)$ von $x(t)$ durch Anwendung der Rechenregeln der Fourier-Transformation.
Die Fourier-Transformation berechnet sich über:
$$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm e^{-j\omega t} dt$$
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blogpost: true
date: Nov 23, 2023
category: Übung
tags: Fourier-Transformation, Sägezahn
---
# Fourier-Transformation Sägezahn
Gegeben sind die folgenden zwei Zeitfunktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ in der Abbildung.
```{figure} pictures/Ft_signal.png
:class: .dark-light
---
height: 100px
---
Sägezahnsignale
```
* Berechnen Sie die Spektralfunktion $X_1(f)$ von $x_1(t)$ mittels der Fourier-Transformation:
$$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm e^{-j\omega t} dt$$
* Berechnen Sie aus $X_1(f)$ die Spektralfunktion $X_2(f)$ von $x_2(t)$ durch Anwendung der Rechenregeln der Fourier-Transformation.
Hinweis: $\int x \mathrm e^{ax} = \frac{\mathrm e^{ax}}{a^2}(ax-1)$.
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blogpost: true
date: Nov 22, 2023
location: Zettel_7
category: Übung
tags: Faltung, Rechteck
---
# Grafische Faltung
Ein System habe die Impulsantwort
$$h(t) = 2{,}5 A \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-1{,}5t_0}{t_0}\right) + A \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-3t_0}{2t_0}\right) + 2 A \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-5{,}5t_0}{3t_0}\right).$$
Die Rechteckfunktion ist wiefolgt definiert:
$$
\operatorname{rect}(t) = \Pi(t) = \begin{cases}
0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \text{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1 & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}
$$
Eine Rechteckfunktion, die bei $t_0$ zentriert ist und eine Dauer von $T$ hat, wird ausgedrückt durch
$$\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T} \right)$$
ausgedrückt.
Am Eingang des Systems liegt das Signal $x(t)$ aus der folgenden Abbildung an.
```{figure} pictures/xt.png
:class: .dark-light
---
height: 300px
name: optional-label
---
Eingangssignal $x(t)$.
```
* Skizzieren Sie die Impulsantwort $h(t)$. Stellen Sie die Formel für $x(t)$ auf.
* Stellen Sie das Faltungsintegral $y(t) = h(t) * x(t)$ auf.
* Berechnen Sie es mithilfe der grafischen Faltung.
```{button-link} https://kisleif.github.io/mtbook/_website/_images/grafischeFaltung.pdf
:color: primary
Download der Anleitung zur Grafischen Faltung.
```
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blogpost: true
date: Oct 25, 2023
location: Zettel_4
category: Übung
tags: Lineare Regression, Mittelwert
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# Hall-Konstante: Lineare Regression
Um die Hall-Konstante $A_\mathrm H$ eines neuen Werkstoffs zu bestimmen haben Sie eine Messreihe durchgeführt, bei welcher in bestimmten Arbeitspunkten jeweils Strom und Spannung an einem Hall-Element gemessen wurden. Unter Berücksichtigung der relevanten Konstanten – magnetische Flussdichte und Dicke des Hall-Elements – erhalten Sie die in nachfolgender Tabelle zusammengefassten $x-y$-Wertepaare:
| $x / (\mathrm{kV\cdot C/m^3})$ | 0,5 | 0,75 | 1,0 | 1,25 | 1,5 |
|-------------------------------|-------|-------|-------|-------|-------|
| $y/\mathrm{V}$ | 3,6 | 6,02 | 7,96 | 9,99 | 12,03 |
* Prüfen Sie anhand des Korrelationskoeffizienten wie stark die Messwerte gestreut sind:
$$r = \frac{\mathrm{cov}_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\overline x)\cdot (y_i-\overline y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i-\overline x)^2} \cdot \sqrt{ \sum_{i=1}^N (y_i-\overline y)^2}}.$$
* Berechnen Sie die gesuchte Hall-Konstante $A_\mathrm H$, welche sich aus dem Regressionskoeffizienten der obigen Messwerte ergibt:
$$ m = \frac{N \cdot \sum_{i=1}^N (x_i y_i) - \sum_{i=1}^N x_i \sum_{i=1}^N y_i}{N \cdot x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^N x_i\right)^2}.$$
\usepackage[
letterpaper,
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centering,
marginparwidth=2in,
textwidth=17cm,
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top=2.5cm,
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\usepackage{enumitem}
%----------------------------------------------------------------------------------------
% PACKAGES AND OTHER DOCUMENT CONFIGURATIONS
%----------------------------------------------------------------------------------------
\setlength{\parindent}{0em}
\usepackage{blindtext} % Package to generate dummy text
%\usepackage{charter} % Use the Charter font
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\usepackage{marvosym, wasysym} % More symbols
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\tikzset{every tree node/.style={align=center,anchor=north},
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\usepackage{style/btree} % Configuration for b-trees and b+-trees, !uses style file!
\usepackage[backend=biber,style=numeric,
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\addbibresource{ecl.bib}
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\fancyfoot[C]{} % Custom footer text
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\newcommand{\note}[1]{\marginpar{\scriptsize \textcolor{red}{#1}}} % Enables comments in red on margin
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%----------------------------------------------------------------------------------------
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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: Zettel_8
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Impuls
---
# Impulsantwort hintereinander geschalteter Systeme
Hinter einem Übertragungskanal mit der Impulsantwort $h_K(t)$ befindet sich der Filter eines Empfängers mit der Impulsantwort $h_E(t)$. Das System ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
```{figure} pictures/hintereinanderschaltung.png
:class: .dark-light
---
height: 300px
name: optional-label
---
Hintereinanderschaltung zweier Messsysteme.
```
Es gilt:
$$h_K(t) = H_K \cdot u(t) \mathrm e^{-t/T_K}, \qquad h_E(t) = H_K \cdot u(t) \mathrm e^{-t/T_E} \qquad (T_E > T_K)$$
* Wie lautet die Impulsantwort $h_\mathrm{ges}(t)$ des Gesamtsystems?
* Skizzieren Sie $h_\mathrm{ges}(t)$.
````{tip}
:class: dropdown
Berechnen Sie das Faltungsintegral
$$h_\mathrm{ges}(t) = h_K \ast h_E = \int_{-\infty}^{\infty} h_K(\tau) \cdot h_E(t-\tau) d\tau = ... = \frac{T_K T_E}{T_E-T_K} \cdot H_K \cdot \left( \mathrm e^{-t/T_E} - \mathrm e^{-t/T_K} \right)$$
Interferometrische Längenmessung
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen hinsichtlich der interferometrischen Längenmessung zutreffend sind!
Zur interferometrischen Längenmessung wird in der Regel ein Laserstrahl in zwei Teilstrahlen aufgespalten und über verschiedene Wege geführt. Der Referenzstrahl durchläuft einen festen Referenzarm, während der Messstrahl einen Messarm variabler Länge durchläuft.
Da die Phasenlage des Lichtes von der zurückgelegten Wegstrecke abhängig ist, ist der Messstrahl gegenüber dem Referenzstrahl phasenverschoben.
Die am Empfänger detektierbare Intensität variiert aufgrund von Interferenz in Abhängigkeit von der relativen Phasenlage von Mess- und Referenzstrahl.
Da der Messstrahl den Messarm hin und zurück durchläuft, entspricht die Periodenlänge des Ausgangssignals der doppelten Laserwellenlänge.
Bei der interferometrischen Längenmessung handelt es sich um ein absolut messendes Verfahren, so dass eine kurzzeitige Unterbrechung des Strahlverlaufs problematisch ist.
Interferometrische Längenmessverfahren
Erläutern Sie das interferometrische Längenmessverfahren und geben Sie an, welche Einschränkungen bei solchen inkrementalen Längenmessungen auftauchen.
Welche Besonderheit weist die Kennlinie auf, skizzieren sie diese grob als Funktion der Phase? Zeichnen Sie ein, in welchem Bereich die Kennlinie linear ist?
Kalibrierung und Justierung
Geben Sie zwei Justierungsmöglichkeiten an, mit denen Sie eine reale Kennlinie korrigieren können. Wie viele Kalibrierpunkte werden jeweils benötigt?
Kapazitive Füllstandsmessung
Bei der kapazitiven Füllstandsmessung nutzt man die Tatsache aus, dass Flüssigkeiten eine relative Dielektrizitätskonstante \(\epsilon_r\) größer als eins besitzen. Als Messgrößenumformer kommt daher ein Kondensator zum Einsatz, der durch die Behälterwand und eine Stabelektrode gebildet wird (siehe Abbildung).
Wird der dargestellte Behälter mit Flüssigkeit befüllt, so nimmt gleichzeitig die Kapazität des Kondensators zu. Es existiert ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Gesamtkapazität \(C_G\) und der Füllhöhe \(h\), welcher als Berechnungsgrundlage für die Auswertung herangezogen werden kann. Die zu bestimmende Füllhöhe \(h\) ergibt sich gemäß folgendem formelmäßigen Zusammenhang:
Hierin steht \(H\) für die maximale Füllhöhe des Behälters, \(\epsilon_r\) für die relative Dielektrizitätskonstante des Füllmediums, \(C_G\) für die variable Gesamtkapazität des Behälters bei jeweiliger Befüllung, \(C_K\) für den konstanten Anteil der Kapazität, welcher vorwiegend aus der Kapazität zwischen Sonde und Deckel sowie Sonde und Boden gebildet wird, und \(C_E\) für die über die Höhe \(H\) gemessene Kapazität des leeren Behälters.
Im Folgenden soll die Füllhöhe $h$ des Behälters auf der Grundlage von Messergebnissen für die Größen $H$, $\epsilon_r$, $C_G$, $C_K$ und $C_E$ einschließlich der wahrscheinlichen Abweichungsgrenzen ermittelt werden. Die maximale Füllhöhe $H$ wird vom Hersteller des Behälters mit einem Nennwert von $H = 5000\mathrm{mm}$ angegeben. Das Konfidenzintervall der maximalen Füllhöhe $H$ gibt der Hersteller mit $\pm 0{,}05 \%$ vom Nennwert bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von $P=95\%$ und sehr großen Stichprobenumfang $n$ an. Als Füllmedium des Behälters wird Wasser eingesetzt, welches unter den herrschenden Umgebungsbedingungen eine relative Dielektrizitätskonstante von $\epsilon_r = 80$ aufweist. Dieser Wert kann als exakt angesehen werden. Die Kapazität $C_K$ wird vom Hersteller des Behälters mit $C_K = 40\mathrm{pF}$ angegeben. Dieser Wert kann als exakt angesehen werden. Die Kapazität $C_E$ wurden im Vorfeld experimentell in $n = 25$ Versuchen bestimmt. Das ermittelte Messergebnis beträgt $C_E = 240\mathrm{pF} \pm 1\mathrm{pF}$ bei $P = 99\%$. Die Gesamtkapazität $C_G$ wird im Zuge der Versuchsdurchführung mit insgesamt $n = 9$ Einzelmessungen ermittelt. Die dabei erhaltenen Einzelmesswerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst.
| $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $C_G /\mathrm{pF}$ | 3335 | 3405 | 3349 | 3381 | 3417 |
Berechnen Sie die gesuchte Füllhöhe $h$ des Behälters und geben Sie das vollständige Messergebnis mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von $P = 95\%$ an!
*Hinweis: Für alle Messgrößen kann eine Normalverteilung vorausgesetzt werden.*
---
blogpost: true
date: Nov 23, 2023
category: Übung
tags: Sensor, Kapazität, Kennlinie
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# Kapazitiver Sensor für Füllstandsmessung
Ein Plattenkondensator ($H$: Höhe der Platten, $B$: Breite der Platten, $d$: Plattenabstand) wird zur Füllhöhenmessung von Bier (wahlweise „Astra“ oder „Herry“) in einem Brauereibehälter eingesetzt. Der Behälter ist bis zur Höhe $h$ mit dem jeweiligen Bier gefüllt, der restliche Behälter ist mit Luft gefüllt.
* Zeichnen Sie die Anordnung (Skizze und Beschriftung!) und leiten Sie allgemein die Kennlinie dieses Sensors als Funktion der Füllhöhe, $h$, her unter der Annahme, dass es sich um einen idealen Plattenkondensator handelt. (Hilfe: Kapazität $C = f (h)$, Parallelschaltung zweier Kapazitäten für den Bereich *flüssig* und *Luft*.)
* Wie groß ist das Messsignal des Sensors bei einer Füllhöhe von $h = 0{,}5\,\mathrm m$?
($\varepsilon_0=8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/Vm}$, $\varepsilon_{r,\mathrm{Alc.}} = 25{,}8$, $\varepsilon_{r,\mathrm{Luft}} = 1$, $B=0{,}5\,\mathrm m$, $H = 1\,\mathrm m$, $d = 0{,}01\,\mathrm m$).
* Skizzieren Sie die Kennlinie für eine Füllstandshöhe zwischen 0 und 1m.
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Übung
tags: Statistisch, Mittelwert, Standardabweichung, Fehlerfortpflanzung
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# Kolbenmanometer
Ein Kolbenmanometer, auch als Druckwaage bezeichnet, ist ein Instrument, mit welchem in einer Flüssigkeit oder einem Gas ein definierter Druck dargestellt werden kann, indem auf einen Kolben mit bekanntem Querschnitt eine definierte Kraft ausgeübt wird. In der Praxis werden hierzu auf den Kolben Massestücke aufgelegt, welche im Schwerefeld der Erde eine Gewichtskraft auf den Kolben ausüben.
```{figure} pictures/kolbenmanometer.png
:class: .dark-light
---
height: 150px
name: optional-label
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Prinzipskizze eines Kolbenmanometers
Der infolge der Gewichtskraft der Massestücke im Medium herrschende Druck \(p\) kann durch folgenden formelmäßigen Zusammenhang angegeben werden:
\[ p = \frac{4 \cdot M \cdot g}{\pi \cdot D^2}\]
Hierin ist \(M\) die Gesamtmasse aller aufgelegten Massestücke, \(g\) ist die am Versuchsstandort herrschende Fallbeschleunigung und \(D\) ist der Durchmesser des kreisförmigen Kolbenquerschnitts. Die Gesamtmasse \(M\) wird hierbei durch Auflegen von insgesamt \(k\) Massestücken der Einzelmasse \(m\) erzeugt.
Im Folgenden soll der Druck \(p\) auf der Grundlage von Messergebnissen für die Größen \(m{,}\)\(D\) und \(g\) einschließlich der wahrscheinlichen Abweichungsgrenzen ermittelt werden.
Die verfügbaren Massestücke weisen jeweils eine Einzelmasse \(m\) auf, die vom Hersteller mit \(m = 5{,}\mathrm{kg} \pm 0{,}001\mathrm{kg}\) bei \(P = 98\%\) angegeben wird. Im hier betrachteten Betriebspunkt werden zur Darstellung der Gesamtmasse \(M\) insgesamt \(k = 9\) dieser als voneinander unabhängig anzusehenden Massestücke aufgelegt.
Die Fallbeschleunigung \(g\) an den möglichen Versuchsstandorten innerhalb der Gravitationszone 4 wurde anhand einer sehr großen Zahl von Datenbankwerten im Vorfeld mit \(g = 9{,}813\mathrm{m/s^2} \pm 0{,}0015\mathrm{m/s^2}\) bei \(P = 95\%\) abgeschätzt.
Der Kolbendurchmesser \(D\) wurde bei der Herstellung des Kolbenmanometers zehnmal gemessen. Dabei ergaben sich die in Tabelle \(\ref{tb:1}\) zusammengefassten Einzelmesswerte:
\(i\)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
\(D /\mathrm{mm}\)
20{,}001
19{,}998
19{,}999
20{,}001
20{,}002
19{,}998
20{,}002
19{,}998
19{,}997
20{,}003
Berechnen Sie den gesuchten Druck \(p\) und geben Sie das vollständige Messergebnis mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 98\%\) an!
Hinweis: Für alle Messgrößen kann eine Normalverteilung vorausgesetzt werden.
png
Kontinuierliche und Diskrete Signale
Geben Sie an, von welcher Art das nachfolgend abgebildete Signal hinsichtlich seines Verhaltens in Zeit- sowie in Amplitudenrichtung ist!
Ein piezoelektrischer Kraftaufnehmer in Form einer Plattenkondensatoranordnung aus Quarz mit der Empfindlichkeit \(k=2{,}3\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/N}\), der Fläche \(A=10\,\mathrm{cm^2}\), der Dicke \(d=1\,\mathrm{mm}\), dem spezifischen Widerstand \(\rho=1014\,\mathrm{\Omega cm}\), der relativen Dielektrizitätszahl \(\varepsilon_r=5\) wird mit einer Kraft \(F=103\,\mathrm N\) belastet (Hinweis: \(\varepsilon_0=8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/Vm}\)).
Zeichnen Sie den schematischen Aufbau mit Ladungsteilung und das zugehörige Ersatzschaltbild (Parallelschaltung von Kapazität des Dielektrikums, \(C_Q\), und Widerstand des Materials, \(R_Q\). \(U_Q\): Spannung Quarz, \(i\): Strom).
Berechnen Sie den Innenwiderstand \(R_Q\).
Wie groß ist die Kapazität \(C_Q\) des Kraftaufnehmers?
Welche Ladung \(Q\) kann bei der vorgegebenen Kraft entstehen?
Auf welche Spannung lädt sich der Quarz-Kristall auf?
Die Spannung des Quarzes nimmt mit der Zeitkonstante \(T_Q\) ab. Nach welcher Zeit müsste die Messung abgeschlossen sein, damit der Messwert höchstens \(1\%\) falsch ermittelt wird?
Wir wollen die rein durch die jeweilige Anschaltung entstehenden Messabweichungen einer Leistungsmessung bei Gleichstrom an einem Beispiel aufzeigen. Hierzu nehmen wir einen handelsüblichen Gleichstrommotor als Verbraucher an, der laut Datenblatt bei Speisung mit \(24\,\mathrm V\) Gleichspannung einen Nennstrom von \(3{,}0\,\mathrm A\) verbraucht.
Welcher Leistungsaufnahme entspricht dies?
Wie groß ist offensichtlicherweise der Innenwiderstand (konkret ist das hier der Wicklungswiderstand der Spulen im Motor)?
Wir wollen diesen Motor nun auch exakt mit \(24\,\mathrm V\) Gleichspannung z.B. an einem Netzteil betreiben und verwenden zur Leistungsbestimmung einen Spannungsmesseingang mit \(1\,\mathrm{M\Omega}\) Innenwiderstand sowie einen Strommesseingang mit \(1\,\mathrm{\Omega}\) Innenwiderstand. Mit welcher Messabweichung ist bei stromrichtiger bzw. spannungsrichtiger Anschaltung zu rechnen?
:class: dropdown
$$P = UI = I\cdot (U + I\cdot R_{iA}) = UI + I^2\cdot R_{iA} \Rightarrow \Delta P = ... = 9\,\mathrm W$$
$$P = UI = U\cdot (I + U / R_{iV}) = UI + U^2/R_{iV} \Rightarrow \Delta P = ... = 5{,}76\cdot 10^{-4}\,\mathrm W $$
Wie groß ist die Messabweichung bei Verwendung eines qualitativ eher nicht so hochwertigen Strommesseingangs mit \(10\,\mathrm{\Omega}\) Innenwiderstand bei einer stromrichtigen Schaltung?
Leistungsmessung bei Wechselgrößen
Es stehen zwei Leistungsmesser W1 und W2 zur Verfügung, deren Strompfade mit dem Strom \(i_1 = i_2 = \hat i \sin(\omega t + \varphi)\) beaufschlagt sind. Am Spannungspfad von W1 liegt \(u_1 = \hat u \sin(\omega t)\) und an W2 liegt \(u_2=\hat u \cos(\omega t)\).
Geben Sie in allgemeiner Form die Momentanwerte der Leistung \(p_1(t) = u_1i_1\) und \(p_2(t) = u_2i_2\) an.
Was zeigen die Leistungsmesser W1 und W2 an? Geben Sie einen Ausdruck für \(\overline p_1 = f(\hat u, \hat i, \varphi)\) und \(\overline p_2 = f(\hat u, \hat i, \varphi)\) an. (Hinweis: Wirkleistung ist gesucht, also der arithmetische Mittelwert).
Geben Sie den Phasenwinkel \(\varphi = f(\overline p_1, \overline p_2)\) und die Scheinleistung \(S = UI = \frac{1}{2}\hat u \hat i\) an.
Gegeben seien die folgenden Zahlenwerte: \(\hat u = 10\,\mathrm V\), \(\hat i = 100\,\mathrm{mA}\), \(\omega = 314\,\mathrm{s^{-1}}\), \(\varphi = 45^\circ\). Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf von \(p_1(t)\). Berechnen Sie \(\overline p_1\) and \(\overline p_2\).
Messunsicherheiten
Welche zwei Typen von Messunsicherheiten gibt es? Welche Unsicherheiten sind reproduzierbar und unter welchen Bedingungen korrigierbar? Welche Unsicherheiten machen ein Ergebnis unpräzise/unsicher und welche machen es unrichtig?
Normalverteilte Notenverteilung
Bei einer Prüfung haben die insgesamt 12 Teilnehmer die in nachfolgender Tabelle zusammen gefassten Noten erzielt:
Teilnehmer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Note
2
1
4
2
3
1
3
4
4
2
5
4
Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung obiger Notenverteilung an!
Passiver CR-Hochpass 1. Ordnung
In der Vorlesung wurde das Zeitverhalten der RC-Tiefpass-Schaltung erläutert. In dieser Aufgabe sollen die dort gebrachten Überlegungen auf ein CR-Hochpass-Messglied angewendet werden. Gegeben ist die Schaltung in der Abbildung.
Geben Sie für die CR-Schaltung den komplexen Frequenzgang $\underline G(jf) = \frac{\underline U_a(f)}{U_e(f)}$ an (über DGL oder komplexe Impedanzen). Spalten Sie den Frequenzgang in seinen Realteil und Imaginärteil. Geben Sie den Amplitudengang $G(f) = |G(jf)|$ und Phasengang in Abhängigkeit von $f_g = 1/(2\pi R C)$ an. Welchen Wert hat der Amplitudengang für den Grenzfall $f = 0\,\mathrm{Hz}$ und $f = f_g$? Skizzieren Sie Amplituden- und Phasengang für folgende Fälle:
$$U_0 = 1\,\mathrm V$, $R = 0,16\,\mathrm{M\Omega}$ und $C = 1\,\mathrm{\upmu F}$$
$$U_0 = 1\,\mathrm V$, $R = 0,16\,\mathrm{M\Omega}$ und $C = 200\,\mathrm{nF}$$
Geben Sie die DGL an. Bestimmen Sie die Sprungantwort des Hochpass-Messgliedes für den Fall, dass sich die Eingangsspannung zur Zeit $t=0\,\mathrm s$ sprunghaft von $u_\mathrm e(t=0\,\mathrm s) = 0\,\mathrm V$ auf $u_\mathrm e(t>0\,\mathrm s) = U_0$ ändert. Nutzen Sie hierfür den für eine Sprunganregung typischen exponentiellen Ansatz, wobei $K_0$ und $\gamma$ Konstanten sind, die zu bestimmen sind:
$$ u_\mathrm a(t) = K_0 \cdot \mathrm e^{-\gamma t}$$
Skizzieren Sie die Sprungantworten für die angegebenen Fälle.
````{tip}
:class: dropdown
Hinweis zum Lösen der DGL:
* Lösen Sie zuerst die homogene DGL (ohne Anregung, $u_\mathrm{e}(t)=0$).
* Finden Sie die partikuläre Lösung für $t \rightarrow \infty$, wenn sich der Kondensator voll aufgeladen hat ($u_\mathrm a(t)$=?).
* Geben Sie den allgemeinen Lösungsansatz an (Summe aus homogener und partikulärer Lösung).
* Bestimmen Sie die Konstanten mithilfe der gegebenen Anfangsbedingungen.
Passiver RC-Tiefpass 1. Ordnung
Ein Messgerät mit einem Verzögerungsverhalten 1. Ordnung, also einem Tiefpassverhalten, und einer 3dB-Grenzfrequenz von \(f_0 = 1\,\mathrm{MHz}\) wird mit einem periodischem Spannungssignal beaufschlagt.
Berechnen Sie die Ausgangsspannungen (inkl. Phasen) und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum für Eingangs- und Ausgangssignal in einem Diagramm. Wie hoch darf die Frequenz eines Messsignals höchstens sein, wenn der frequenzabhängige Amplitudenabfall kleiner als 1% sein soll?
Phasenanschnittsteuerung
An einem Widerstand wird die umzusetzende Leistung mit einem Thyristorsteller, der eine Phasenschnittsteuerung realisiert, eingestellt. Gegeben sind die sinusförmige Wechselspannung mit \(U = 230\,\mathrm V\), der Widerstand des Verbrauchers mit \(R=1{,}5\,\mathrm{k\Omega}\) und der Phasenanschnittwinkel \(\phi = 45^\circ\). Ermitteln Sie die im Widerstand \(R\) umgesetzte Leistung.
---
blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Kurzfrage
tags: Sensor, Piezo
---
# Piezoelektrischer Sensor
Skizzieren Sie den Aufbau eines Piezoelektrischen Kristalls und erläutern Sie dessen Wirkungsweise! Geben Sie mindestens zwei physikalische Größen an, die mittels Piezoelektrizität gemessen werden können.
---
blogpost: true
date: Nov 15, 2023
location: Probeklausur
category: Multiple-Choice
tags: Mittelwert, Fourierreihe, Effektivwert, Abtastung
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# Rechteckpuls
Gegeben ist ein Rechteckpuls mit einer Amplitude von $1\,\mathrm V$ und einer Periodendauer von $1\,\mathrm{ms}$. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffend sind!
```{figure} pictures/rechteck2.png
:class: .dark-light
---
height: 150px
---
Rechteckpuls
Der Mittelwert \(\overline u_{0}\) ist Null.
Die Fourier-Koeffizienten $b_k = {-T/2}^{T/2} u{e}(t) (2k f_0 t) dt $ sind alle Null.
Die Grundfrequenz ist \(f = 1\,\mathrm{kHz}\).
Der Effektivwert ist $u_ 107, $.
Eine Abtastung des Rechtecksignals mit einer Abtastfrequenz von \(f_{s} = 2\,\mathrm{kHz}\) ist ausreichend, um Informationsverlust bei der Digitalisierung zu vermeiden.
Unbekannt Schaltung identifizieren
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen über die nachfolgend abgebildete Schaltung zutreffend sind!
Bei der Schaltung handelt es sich um eine Wheatstone-Brücke.
Die abgebildete Schaltung eignet sich zur Auswertung kleiner Widerstandsänderungen, z.B. bei der Verformungsmessung mit Dehnungsmessstreifen.
Prinzipiell handelt es sich bei der abgebildeten Schaltung um die Reihenschaltung zweier Spannungsteiler.
Eine Schaltung nach dem Prinzip der abgebildeten, bei welcher einer der Widerstände veränderlich ist, bezeichnet man auch als Ausschlagsbrücke.
Die Schaltung wird für Differenz-/Kompensationsverfahren verwendet, das heißt die Differenzspannung \(U_\mathrm{d}\) ist im Kompensationsfall Null.
Das Schwerependel
Grundlagen für das Praktikum und Fehlerfortpflanzung.
{button-link} https://kisleif.github.io/mtbook/content/T_Schwerependel.html :color: primary Hier geht's zur Lösung (Jupyter-Notebook)
```{figure} pictures/schwerependel.jpeg
height: 250px name: schwerependel —
In der Vorlesung haben wir das Schwerependel behandelt und die Periodendauer gemessen. Hieraus soll nun die Erdbeschleunigung $g$ inklusive Messunsicherheit im Vorlesungssaal bestimmt werden.
Eine Masse $m$ wird um den Winkel $\varphi_0$ ausgelenkt. Losgelassen pendelt sie mit der Periodendauer $T$. Für kleine Auslenkungen $\varphi$ gilt die Näherung in Abb. \ref{fig:pendel} und man erhält für $T$:
$$
T^2 = \frac{(2\pi)^2}{g}\cdot l
$$
wobei $l$ die Pendellänge ist und $g$ die Erdbeschleunigung (auch Ortsfaktor genannt).
## Grundlagen
### Statistik
Im Vorlesungs-Kapitel [Messunsicherheiten](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_Messunsicherheiten.html) befinden sich alle wichtigen Formeln zur Berechnung der Messunsicherheiten und der Fehlerfortpflanzung. Wenn $x_{j}$ die Einzelmesswerte einer Messreihe sind und $m$ der Stichprobenumfang (= Anzahl der Messwerte in der Messreihe), dann gilt für den Mittelwert:
$$\overline x = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m x_j$$
Für empirische Daten lautet die Varianz:
$$s^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{j=1}^m (x_j - \overline x)^2$$
und die empirische Standardabweichung $s(x)$ der Einzel-Messwerte:
$$s = \sqrt{\frac{1}{m-1} \sum_{j=1}^m (x_j - \overline x)^2}$$
Für die Standardabweichung des Mittelwertes gilt:
$$s(\overline x) = \frac{s}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{1}{m(m-1)} \sum_{j=1}^m (x_j - \overline x)^2}$$
### Vertrauensbereich
Für die erweiterte Messunsicherheit mit Vertrauensbereich wird die Standardabweichung mit dem Erweiterungsfaktor $t$ multipliziert (hier angegeben für die Messunsicherheit des Mittelwertes, daher der Faktor $1/\sqrt{m}$):
$$u_{\overline x} = \pm \frac{t}{\sqrt{m}}\cdot s(x) = \pm t \cdot s(\overline x)$$
Dieser ist ein Maß für den Vertrauensbereich, indem sich eine bestimmte Anzahl von Messwerten befinden:
* 68,3\% aller Messwerte liegen im Bereich $\pm \sigma$
* 95,5\% aller Messwerte liegen im Bereich $\pm 2\sigma$
* 99,7\% aller Messwerte liegen im Bereich $\pm 3\sigma$
Diese Werte gelten für die Normalverteilung. Bei kleinen Stichproben, $m < 25$, muss die Student-t-Verteilung angewendet werden, mittels welcher das Quantil $t$ bestimmt wird und der Vertrauensbereich angepasst wird (siehe Tabelle im Anhang).
### Fehlerfortpflanzung
Angenommen es liegen mehrere Messreihen für verschiedene physikalische Größen vor, $x_{1}$ und $x_{2}$ ,..., aus denen die Größe $y$ mittels funktionalem Zusammenhang ermittelt werden soll, $y = f(x_{1}, x_{2}, ...)$, dann gilt für die Messabweichung von $y$ laut Gauß'schem Fehlerfortpflanzungsgesetz:
$$u_y = \sqrt{\left (\frac{\partial y}{\partial x_1} \cdot u_1 \right)^2 +\left (\frac{\partial y}{\partial x_2} \cdot u_2 \right)^2 +\cdots}$$
Dies gilt, wenn es sich bei mindestens einer Unsicherheit von $u_{1}$ oder $u_{2}$ um eine statistische Messunsicherheiten handelt. Andernfalls sollte der Maximalfehler berechnet werden.
## Aufgaben
### Schrecksekunde - [Statistische Messunsicherheit](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_StatistischeMessunsicherheit.html)
Miss deine persönliche Schrecksekunde indem du 5 mal versuchst bei genau 5s deine Stoppuhr anzuhalten.
Berechne hieraus die Standardabweichung, um die Messunsicherheit für deine persönliche Einzelmessung zu erhalten.
Miss die Perdiodendauer des Pendels und das Ergebnis der Periodendauer inklusive Messunsicherheit an.
### Pendellänge - [Systematische Messunsicherheit](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_SystematischeMessabweichung.html)
Miss die Pendellänge und gib die Messunsicherheit dazu an. Begründe dein Ergebnis.
### Erdbeschleunigung - [Fehlerfortpflanzung](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_Fehlerfortpflanzung.html)
Bestimme aus den oben berechneten besten Schätzwerten für die Periodendauer $\overline T$ und die Pendellänge $\overline l$ mittels der Pendelgleichung
$$
T^2 = \frac{(2\pi)^2}{g}\cdot l
$$
die Erdbeschleunigung $g$.
Bestimme außerdem die Messunsicherheit mittels Fehlerfortpflanzung.
Gebe das Ergebnis für einen Vertrauensbereich von 99,7% an.
### Pendellänge - Diagramm zeichnen
Miss für verschiedene Pendellängen $l$ die Periodendauer $T$. Trage $T^{2}$ gegenüber $l$ in ein Diagramm ein. Trage auch die Fehlerbalken in das Diagramm ein. Bestimme die Erdbeschleunigung mittels einer linearen Regression.
```{button-link} https://kisleif.github.io/mtbook/content/T_Schwerependel.html
:color: primary
Hier geht's zur Lösung (Jupyter-Notebook)
```{figure} pictures/student-t.png
height: 300px name: optional-label — Für die Freiheitsgrade \(s\) und \(p\) gilt: \(s = m-1\), wobei \(m\) die Größe der Stichprobe ist. \(p = 1- \alpha/2\), wobei \(\alpha\) das Signifikanzniveau angibt.
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Kurzfrage
tags: Einheiten
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# SI-Einheiten
Nennen Sie alle Grundgrößen des SI-Systems sowie ihre Einheiten und Einheitenzeichen!
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blogpost: true
date: Nov 22, 2023
location: Zettel_7
category: Übung
tags: Messsystem, Tiefpass, Übertragungsfunktion, SNR
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# Signal-Rausch-Verhältnis bei einer Tiefpass-Filterung
Die Güte eines Signals wird in der Systemtheorie über ein Signal-Rausch-Verhältnis (Signal-Noise-Ratio SNR) beschrieben.
Es ist definiert als das Verhältnis der mittleren Nutzsignalleistung zur mittleren Rauschsignalleistung:
$$\mathrm{SNR} = \frac{P_\mathrm{Signal}}{P_\mathrm{Rauschen}}$$
In dieser Aufgabe wird untersucht, wie ein Tiefpass-Filter das Signal-Noise-Ratio (SNR) verbessern kann. Dazu wird das harmonische Signal
$$u_1(t) = 1\,\mathrm V \cos(2\pi\cdot 100\,\mathrm{Hz} \cdot t)$$
angenommen.
Das Signal ist mit einer harmonischen Störung
$$u_2(t) = 0{,}5\,\mathrm V \cos(2\pi \cdot 1\,\mathrm{kHz} \cdot t)$$
überlagert.
Wie lauten die komplexen Koeffizienten $\underline c_k$ der beiden Signale? Berechnen Sie die mittlere Leistung $P$ mithilfe der Fourier-Koeffizienten und dem **Parseval'schen Theorem**:
$$ P = |c_0|^2 + 2 \cdot \sum_{k = 1}^N |\underline c_k|^2$$
Geben Sie das Signal-Noise-Ratio SNR an.
Die Summe der beiden Signale wird von einem RC-Tiefpass gefiltert. Geben Sie die Fourier-Koeffizienten nach der Filterung an. Berechnen Sie das SNR nach einem Tiefpass mit einem Widerstand von $R = 100\,\mathrm{k\Omega}$ und einer Kapazität von $C = 10\,\mathrm{nF}$. Um welchen Faktor hat sich das SNR verbessert? Skizzieren Sie das Spektrum aller Fourier-Koeffizienten.
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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: Zettel_8
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Impuls, Sprung, Übertragungsfunktion
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# Sprung- und Impulsantwort und Übertragungsfunktion
Die Sprungantwort eines LTI-Systems lautet
$$
g(t)=\left\{\begin{array}{cl}0&\textrm{für}\,\,t<0\\ 2t&\textrm{für}\,\, 0 \leq t \leq T \\ 2T&\textrm{für}\,\, t > T\end{array}\right.
$$
1. Bestimmen und skizzieren Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems.
2. Wie lautet die Übertragungsfunktion $H(f)$ des Systems? Geben Sie $H(f)$ unter Verwendung der si-Funktion an.
3. Bestimmen Sie den Betrag $|H(f)|$ und die Phase $\varphi(f)$ von $H(f)$.
````{tip}
:class: dropdown
1. Der Impuls ist die Ableitung eines Sprungs. In einem LTI-System gilt, dass die Impulsantwort, $h(t)$, die Ableitung der Sprungantwort, $g(t)$, ist.
2. Die Übertragungsfunktion ist für eine Impulsanregung definiert. Transformiere folglich $h(t)$ in den Frequenzbereich und löse das Integral der Fourier (oder Laplace) Transformation:
$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \mathrm e^{-j2\pi ft}dt = ... = 2T \mathrm{si}(\pi f T) \mathrm e^{-j\pi fT}$$
3. Überlegen Sie, was der Betrag einer komplexen e-Funktion ist. Die Funktion $|\mathrm{si}(...)|$ können Sie so stehen lassen. Für die Phase gilt die allgemeine Formel:
$$\varphi(f) = \arctan\left(\frac{Im(H)}{Re(H)}\right)$$
Sprungantwort eines Schwingkreises
Als einfaches Messsystem 2. Ordnung wird ein RLC-Schwingkreis betrachtet. Stellen Sie die Übertragungsfunktion (im Frequenzraum) des RLC-Gliedes durch die Maschengleichung auf. Die Abklingkonstante sei mit \(\delta = \frac{R}{2L}\) definiert und die Eigenkreisfrequenz ist \(\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left( \frac{R}{2L} \right)^2}\). Transformieren Sie die Sprungantwort mittels der Laplace-Tabelle im Anhang zurück in den Zeitbereich und skizzieren Sie diese für verschiedene Dämpfungen (schwach gedämpft \(\delta << \omega_0\), gedämpft, aperiodischer Grenzfall \(\omega_0 = 0\)).
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Single-Choice
tags: Sprungantwort
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# Sprungantworten System 2. Ordnung
In nachfolgender Abbildung sind die Sprungantworten dreier – mit A, B und C bezeichneter – linearer Systeme 2. Ordnung dargestellt, welche sich hinsichtlich ihrer Dämpfung $D$ unterscheiden. Geben Sie an, welche Kombination von Dämpfungen $D_\mathrm A$, $D_\mathrm B$ und $D_\mathrm C$ das Verhalten der dargestellten Systeme A, B und C qualitativ am besten beschreibt!
```{figure} pictures/2ordnung.png
:class: .dark-light
---
height: 150px
name: optional-label
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Sprungantworten von Systemen 2. Ordnung
\(D_\mathrm A = 0{,}1\); \(D_\mathrm B = 0{,}3\); \(D_\mathrm C = 0{,}5\);
\(D_\mathrm A = 0{,}5\); \(D_\mathrm B = 1{,}0\); \(D_\mathrm C = 3{,}0\);
\(D_\mathrm A = 1{,}0\); \(D_\mathrm B = 3{,}0\); \(D_\mathrm C = 5{,}0\);
\(D_\mathrm A = 5{,}0\); \(D_\mathrm B = \sqrt{2}/2\); \(D_\mathrm C = 0{,}3\);
Stichprobe Qualitätssicherung
In einer Produktion sollen Spiralfedern mit einer Federkonstsanten \(k_F = (2{,}2 \pm 0{2})\,\mathrm{N/mm}\) (Garantiefehlergrenze) hergestellt werden. Die Qualitätssicherung erfolgt durch eine Stichprobenprüfung an 10 zufällig ausgewählten Federn. Die Federkonstante \(k\) wird aus der Kraft \(F\) und der relativen Wegänderung \(\Delta l\) wie folgt berechnet
\[k = \frac{F}{\Delta l}\]
Die Messeinrichtung besteht aus einer Kraftmesseinrichtung mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von 95% und einer Längenmessung mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von 99%.
Kraft \(F\) in N
Weg \(l\) in mm
74,5
32,5
73,2
31,6
75,0
33,0
73,8
31,8
73,4
31,4
74,6
32,6
74,2
32,2
73,0
31,0
74,8
32,4
73,5
31,5
Bestimmen Sie für die Kraftmessung \(F\) die absolute Messabweichung für P = 95%.
Bestimmen Sie für die Längenmessung \(l\) die absolute Messabweichung für P = 95%.
Bestimmen Sie die gesamt Messabweichung für die Federkonstante \(k\) für P = 95%.
png
Stichprobenmessung Windkraftanlagen
Bei einem Hersteller von Windkraftanlagen werden im Rahmen einer Wareneingangsprüfung hochfeste Schrauben hinsichtlich ihrer 0,2%-Dehngrenze \(R_{\mathrm{p0{,}2}}\) untersucht. Dabei wird gemäß DIN EN ISO 898 ein Zugversuch an abgedrehten Schrauben durchgeführt. Aus einer Stichprobenmessung ergibt sich ein Mittelwert der 0,2%-Dehngrenze von \(\overline R = 898{,}7\,\mathrm{N/mm^2}\) und eine Streuung von \(S = 3{,}1\,\mathrm{N/mm^2}\). Die Standardabweichung \(\sigma\) sei unbekannt.
Der minimal erforderliche Stichprobenumfang \(n\), um bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 95\%\) das Konfidenzintervall des Erwartungswertes der 0,2%-Dehngrenze auf maximal \(\pm 2\,\mathrm{N/mm^2}\) abschätzen zu können, beträgt:
\(n = 7\)
\(n = 9\)
\(n = 10\)
\(n = 11\)
\(n = 12\)
Gehen Sie davon aus, dass Mittelwert und Streuung obiger Stichprobe mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit übereinstimmen. Etwa wie viel Prozent aller Schrauben weisen dann eine 0,2%-Dehngrenze auf, die außerhalb des Intervalls von \(895\,\mathrm{N/mm^2} \leq R_{\mathrm{p0{,}2}} \leq 905\,\mathrm{N/mm^2}\) liegt?
\(2{,}1\%\)
\(11{,}7\%\)
\(13{,}8\%\)
\(86{,}2\%\)
\(97{,}9\%\)
png
Stromquelle mit periodischem Rechteckpuls
Eine Stromquelle liefert Ihnen einen periodischen Rechteckpuls laut dem angegebenen Stromzeitdiagramm.
Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert \(\overline i\) von \(i(t)\). Welche Leistung wird bei der Messung im Messinstrument mit einem Innenwiderstand von \(R_i = 0{,}3\,\Omega\) umgesetzt?
png
Systematische Messabweichung
Zwei unbekannte Widerstände \(R\) im \(\mathrm{k\Omega}\)-Bereich werden mit zwei Messschaltungen bestimmt:
```{figure} pictures/strom_spannungsrichtig.png :class: .dark-light — height: 150px name: optional-label — Schaltungen zur Bestimmung von Widerständen nach \(R = U/I\)
* Welches Schaltbild stellt die stromrichtige und welche die spannungsrichtige Schaltung dar?
* Berechnen Sie für beide Fälle den unkorrigierten und korrigierten Widerstandswert. Bei welcher Schaltung ist der relative Fehler kleiner? Benutzen Sie folgende Wert: einen Strom von $I = 2{,}4\mathrm{mA}$, eine Spannung von $U=10\mathrm V$ und Innenwiderstände von $R_{A}=4\Omega$ und $R_{V}= 10\mathrm{k}\Omega$.
* Für welche Grenzwerte von $R$ sollte man strom- bzw. spannungsrichtig messen? Setzen Sie erneut $R_{A} = 4\,\mathrm \Omega$ und $R_{V} = 10\,\mathrm{k\Omega}$.
````{tip}
:class: dropdown
* Schaltung 1 (korrigiert):
$$U = R_KI = R_K\cdot (I-I_V)$$
$$I_V = U / R_{V}$$
$$\Rightarrow R_K = ... = 7{,}14\,\mathrm{k\Omega} $$
$$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta I}{I} = ... = -41\%$$
* Schaltung 2 (korrigiert):
$$U = R_KI $$
$$R_K = R - R_{A}$$
$$\Rightarrow R_K = ... = 4{,}162\,\mathrm{k\Omega} $$
$$\frac{\Delta R}{R} = ... = 0{,}09\%$$
* Schreiben Sie die Formeln für $R$ auf, indem Sie die Reihen- bzw. Parallelschaltung mit $R_A$ und $R_V$ berücksichtigen, und setzen Sie diese beiden Gleichungen gleich. Formen Sie dann nach $R$ um:
$$R = \frac{R_A}{2} \pm \sqrt{\frac{R_A^2}{4} + R_V R_A} \approx 320\,\Omega$$
Systematische Messabweichung II
Zwei unbekannte Widerstände \(R\) im \(\mathrm{k\Omega}\)-Bereich werden mit zwei Messschaltungen bestimmt:
```{figure} pictures/strom_spannungsrichtig.png :class: .dark-light — height: 150px name: optional-label — Schaltungen zur Bestimmung von Widerständen nach \(R = U/I\)
* Welches Schaltbild stellt die stromrichtige und welche die spannungsrichtige Schaltung dar?
* Berechnen Sie für beide Fälle den wahren ($R$) und den gemessenen ($R'$) Widerstandswert.
* Berechnen Sie für beide Fälle den systematischen absoluten und relativen Fehler in Abhängigkeit von $R$ und den Innenwiderständen $R_{A}$ und $R_{V}$ der Messgeräte.
* Zeichnen Sie den Betrag der Fehler in ein Diagramm in Abhängigkeit von $R$ für beide Fälle. Für welche Grenzwerte von $R$ sollte man strom- bzw. spannungsrichtig messen? Setzen Sie $R_{A} = 10\,\mathrm \Omega$ und $R_{V} = 20\,\mathrm{k\Omega}$.
````{admonition} Ergebnisse
:class: dropdown
| Messung | wahrer Wert $R$ | gemessener Wert $R'$ |
| --------|-----------------|----------------------|
| stromrichtig | $R = \frac{U_R}{I} = R'-R_A$ | $R' = \frac{U}{I} = R+R_A$ |
spannungsrichtig | $R = \frac{U}{I_R} = \frac{R'R_V}{R_V-R'}$ | $R' = \frac{U}{I} = \frac{RR_V}{R+R_V}$
| Messung | absoluter Fehler | relativer Fehler |
| --------|-----------------|----------------------|
| stromrichtig | $R'-R = R_A$ | $\frac{R'-R}{R} = \frac{R_A}{R} $
| spannungsrichtig | $R'-R = -\frac{R^2}{R+R_V}$ | $\frac{R'-R}{R} = -\frac{R}{R+R_V} $
* stromrichtig: $R' = R+R_A \approx R$ wenn $R >> R_A$
* spannungsrichtig: $\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_V} \approx \frac{1}{R}$ für $\frac{1}{R} >> \frac{1}{R_V}$ bzw. $R << R_V$
* für die Grenze gleichsetzen...
$$R = \frac{R_{A}}{2} + \sqrt{\frac{R_{A}^2}{4} \cdot R_A R_V} = ... = 452{,}24\,\Omega $$
Temperatursensor PT-100
In der Abbildung finden Sie die Kennlinie des Temperatursensors Pt-100. Geben Sie ausgehend von der Abbildung an, welchen Wert die Empfindlichkeit des Temperatursensors im dargestellten Bereich etwa annimmt!
tempsensor
\(3{,}534\,\mathrm{\Omega / K}\)
\(0{,}3534\,\mathrm{\Omega / K}\)
\(35{,}34\,\mathrm{\Omega / ^\circ C}\)
\(0{,}003534\,\mathrm{\Omega / ^\circ C}\)
\(10{,}0\,\mathrm{\Omega / K}\)
Tiefpass mit Sägezahnspannung
Ein Messgerät mit einem Verzögerungsverhalten 1. Ordnung, also einem Tiefpassverhalten, und einer 3,dB-Grenzfrequenz von \(f_0 = 1\,\mathrm{MHz}\) soll im Folgenden charakterisiert werden.
Skizzieren Sie das elektronische Schaltbild des RC-Tiefpasses 1. Ordnung und leiten Sie die Differentialgleichung her. Wie erhalten Sie hieraus die Übertragungsfunktion
\[G(jf) = \frac{1}{{1 + j \frac{f}{f_0}}}\]
eines Tiefpasses? Geben Sie die Gleichung für den Amplituden- und Phasengang des Messgerätes an.
Das Messgerät wird mit einer periodischen Sägezahnspannung mit einer Amplitude von \(A = 10\,\mathrm V\) und einer Periodendauer von \(T = 2\,\mathrm{\upmu s}\) beaufschlagt. Zerlegen Sie hierfür das in der Abbildung dargestellte Signal in eine Fourier-Reihe: Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten \(a_0\), \(a_k\) und \(b_k\) für \(k = 1,2,3\) und formulieren Sie die drei Eingangsspannungen \(u_{e,k}(t)\).
- Berechnen Sie die drei zugehörigen Ausgangsspannungen und Phasen nachdem die drei Eingangssignale den Tiefpassfilter passiert haben. Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum für Eingangs- und Ausgangssignale.
- Ein hochfrequentes sinusförmiges Störsignal mit einer Frequenz von $100\,\mathrm{MHz}$ liegt nun ebenfalls am Eingang ihres Messgerätes an. Sie können aber guten Gewissens eine Restamplitude von $1\%$ nach dem Tiefpassfilter tolerieren. Erfüllt ihr Messgerät diese Anforderung?
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blogpost: true
date: Nov 29, 2023
category: Übung
location: Zettel_9
tags: Widerstand, Elektronik, Operationsverstärker
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# Verstärkerschaltung
Gegeben sei die in der Abbildung dargestellte Verstärkerschaltung mit $R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega}$, $R_3 = R_1 || R_2$, wobei der Operationsverstärker eine Temperaturempfindlichkeit von $|U_\mathrm{OS} / \Delta \vartheta | = 2{,}5\mathrm{\mu V / K}$ hat.
```{figure} pictures/OS.png
:class: .dark-light
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height: 150px
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Verstärkerschaltung mit Operationsverstärker.
Berechnen Sie die Widerstände für eine Verstärkung von 40dB.
:class: dropdown
40dB ist als Verstärkungsfaktor gegeben, d.h. es gilt $k = 40\,\mathrm{dB}$. Welcher Verstärkung entspricht dies in nicht-dB Einheiten? Zur Umrechnung benutzen Sie $v = 20\cdot \log k$. Außerdem können Sie die Verstärkung in Abhängigkeit von den Widerständen $R_1$ und $R_2$ angeben ($k = R_2/R_1$).
Wie groß darf die Spannung am Eingang maximal werden, wenn die Ausgangsspannung auf 12V begrenzt ist?
:class: dropdown
Für die Verstärkung gilt allgemein: $k = U_a / U_e$...
Der Verstärker soll in einem Temperaturbereich von \(20^\circ\mathrm C\) bis \(80^\circ\mathrm C\) zum Einsatz kommen. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Messbereich, bei dem der Offsetfehler höchstens 1% vom Messbereichsendwert ausmacht.
:class: dropdown
Wie groß ist das gewünschte Temperaturintervall $\Delta \vartheta$? Was für einen maximale Abweichung (in $\mu \mathrm V$) begehen Sie für die angegebene Temperaturempfindlichkeit $|U_\mathrm{OS} / \Delta \vartheta | = 2{,}5\mathrm{\mu V / K}$? Was bedeutet dies für die Abweichung bei Ausgangsspannung, $\Delta U_a = k \cdot \Delta U_e$? Diese Abweichung gegenüber dem Ausgangsmessbereich soll kleiner sein als 1%, also $\Delta U_a / U_{a,\mathrm{min.Messbereich}} < 1%$...
Warenausgangsprüfung
Bei einem Hersteller von Geräten und Zubehör für die Wägetechnik werden im Rahmen einer Warenausgangsprüfung Massestücke hinsichtlich ihrer Masse untersucht. Hierzu wird aus einer gefertigten Charge eine Stichprobe vom Umfang \(n = 25\) entnommen und die mittlere Masse \(m\) mittels einer Präzisionswaage experimentell ermittelt. Aus der Stichprobe ergibt sich ein Mittelwert der Masse von \(\overline m = 99{,}997\,\mathrm g\) und eine Streuung (empirische Abweichung der Einzelmessungen) von \(S_m =0{,}007\,\mathrm g\). Die Standardabweichung \(\sigma\) sei unbekannt.
Das Konfidenzintervall des Erwartungswertes der Masse \(m\) für eine Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 99\%\) beträgt für diesen Fall ungefähr:
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00240)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00326)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00349)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00392)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00361)\,\mathrm g; P=99\%\)
Der minimal erforderliche Stichprobenumfang \(n\), um bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 95\%\) das Konfidenzintervall des Erwartungswertes der Masse auf maximal \(\pm 0{,}004\,\mathrm g\) abschätzen zu können, beträgt:
\(n = 11\)
\(n = 12\)
\(n = 13\)
\(n = 14\)
\(n = 15\)
Gehen Sie davon aus, dass Mittelwert und Streuung obiger Stichprobe mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit übereinstimmen. Etwa wie viel Prozent aller Massestücke weisen dann eine Masse auf, der des Intervalls von \(99{,}99\,\mathrm g \leq m \leq 100{,}01\,\mathrm g\) liegt?
\(310^\circ\mathrm F + 20^\circ\mathrm C + 50\,\mathrm{mK} = \underline{\hspace{2cm}} \mathrm K\)
Widerstandsmessung
Für eine Qualitätskontrolle eines Automobilzulieferers werden 3 Stichproben aus einer Lieferung entnommen und in drei Gruppen A, B, C mit jeweils 12 Widerständen eingeteilt. Komponete A hat einen
\[R_\mathrm{A,soll} = 30\Omega\]
Komponete B hat einen
\[R_\mathrm{B,soll} = 90\Omega\]
Komponete C hat einen
\[R_\mathrm{C,soll} = 120\Omega\]$
Für eine hohe Messgenauigkeit werden die Widerstände mit der Vierleitermethode vermessen. Die Werte der Messung sind in der Tabelle dargestellt.
A
B
C
1
29,73
90,93
120,65
2
29,92
89,73
120,09
3
31,21
88,81
120,40
4
31,56
91,78
121,36
5
30,43
90,66
118,06
6
28,38
87,85
121,76
7
27,23
90,03
121,06
8
30,18
87,13
118,95
9
29,57
87,67
119,72
10
30,30
94,59
120,44
11
25,28
84,40
119,13
12
31,24
86,34
119,36
Zeichnen Sie den Messaufbau bei der Vierleitermethode und erklären Sie die Vorteile dieser Schaltung bezüglich der Messgenauigkeit.
Bestimmen Sie für jede Messreihe A,B, C den Mittelwert und die Standardabweichung. Geben Sie dazu die Toleranzklasse der Widerstände an und die Abweichung des Mittelwerts zum Soll-Widerstandswert Rsoll .
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für jede Messreihe an bei der der Widerstand 20% größer als der Sollwert ist mit der ermittelten Standardabweichung.
Stellen Sie jede Messreihe graphische in einem Histogramm dar mit Hilfe von Matlab oder Python. Zeichen Sie zudem noch die Glockenkurve für jede Messreihe in den Plot ein.
Hinweis: Für alle Messgrößen kann eine Normalverteilung vorausgesetzt werden.
png
Widerstandsmessung
Für die indirekte Widerstandsmessung mittels Strom- und Spannungsmessgerät sind zwei unterschiedliche Schaltungsarten gebräuchlich. Benennen und skizzieren Sie diese! Geben Sie weiterhin an, welche davon für die Messung kleiner Widerstände geeigneter ist!
Zeitkonstante im System 1. Ordnung
Ein lineares System 1. Ordnung mit der Zeitkonstanten \(T\) und dem Übertragungsfaktor \(K = 2\) werde aus dem Beharrungszustand heraus zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit einer sprungförmigen Änderung der Eingangsspannung von \(0\,\mathrm V\) auf \(10\,\mathrm V\) beaufschlagt. Welche Spannung wird nach der Zeitdauer \(t = T\) am Ausgang ungefähr anliegen?
\(0\,\mathrm V\)
\(6{,}3\,\mathrm V\)
\(10\,\mathrm V\)
\(12{,}6\,\mathrm V\)
\(20\,\mathrm V\)
Abtastung eines Dreiecksignals
Ein als ideal angenommenes Dreiecksignal mit einer Periodendauer von \(1\,\mathrm{ms}\) werde mit einer Abtastrate von \(10\,\mathrm{kHz}\) digitalisiert. Geben Sie an, ob in diesem Fall das Abtasttheorem nach Shannon erfüllt ist! Begründen Sie Ihre Antwort!
Welcher Effekt tritt ein, wenn das Abtasttheorem verletzt ist? Erläutern Sie diesen Effekt mit einer einfachen Skizze.
Aliasing bei der Digitalisierung von Musik
Sie planen, ein Musiksignal zu digitalisieren und hierfür einen A/D-Umsetzer mit einer Abtastfrequenz von \(44,1\,\mathrm{kHz}\) zu verwenden. Sie wissen, dass in dem analogen Musiksignal Frequenzanteile bis hinauf zu \(50\,\mathrm{kHz}\) enthalten sind, deren Amplitude nicht vernachlässigbar ist. Ihnen ist bewusst, dass für diese hohen Frequenzanteile das Abtasttheorem nach Shannon verletzt wird. Ihr Kommilitone schlägt vor, die A/D- Umsetzung dennoch wie geplant vorzunehmen und argumentiert, dass Frequenzen von über \(20\,\mathrm{kHz}\) für den Menschen ohnehin nicht hörbar seien und es daher keine Rolle spiele, wenn diese nicht korrekt digitalisiert werden.
Geben Sie an, ob Sie dieser Argumentation folgen würden oder nicht! Begründen Sie Ihre Antwort!
Aussschlagsmessbrücke
Gegeben ist eine Ausschlagmessbrücke bestehend aus den beiden Spannungsteilern \(R_1\) und \(R_2\), bzw. \(R_3\) und \(R_4\).
Berechnen Sie die Diagonalspannung \(U_d\) einer Ausschlag-Messbrücke.
:class: dropdown
* Schreiben Sie die beiden Spannungsteiler-Gleichungen auf
* Subtrahieren Sie die beiden Spannungswerte, z.B. $U_d = U_2-U_4$
Aufgabe 2: Sensor
Mit der Brücke soll die Widerstandsänderung \(\Delta R\) eines Sensors, gegeben durch \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) (Temperaturfehler \(\Delta R_T\)) erfasst werden. Die anderen Brückenwiderstände sind mit \(R_0\) anzunehmen.
Skizzieren Sie die Schaltung
Berechnen Sie \(U_d = f(U_0, \Delta R, \Delta R_T, R_0)\).
:class: dropdown
* Ersetzen Sie $R_2$ in der Gleichung von Aufgabe 1, sowie alle anderen Widerstände durch $R_0$ und vereinfachen Sie die Gleichung für $U_d$.
Aufgabe 3: Temperaturkompensation
Die Temperaturabhängigkeit \(\Delta R_T\) soll verringert werden. Hierzu steht Ihnen ein Widerstand mit identischem Temperaturverhalten zur Verfügung: \(R_K = R_0 + \Delta R_T\). Zeigen Sie, dass mit Hilfe von \(R_K\) der Einfluss von \(\Delta R_T\) stark reduziert werden kann. Gehen Sie folgendermaßen vor:
Geben Sie eine geeignete Brückenschaltung an.
Berechnen Sie \(U_d = f(U_0, \Delta R, \Delta R_T, R_0)\).(Zwischenergebnisse sind im nächsten Punkt angegeben.)
Berechnen Sie die Empfindlichkeit in Abhängigkeit von \(\Delta R_T\) für die beiden Fälle mit und ohne \(R_K\).
Bilden Sie den Quotienten aus beiden Resultaten, \(\frac{E_{1}}{E_{2}}\) und nähern Sie für \(\Delta R_{T} << R_{0}\).
:class: dropdown
* Setzen Sie $R_K$ an die Stelle von $R_1$, also in den gleichen Spannungsteiler.
* Die Empfindlichkeit berechnen Sie über die Ableitung, hier die Ableitung nach $d \Delta R_T$, wenn Sie die Empfindlichkeit für $\Delta R_T$ haben möchten.
Diagonalspannung mit Sensor bei \(R_2 = R_x = R_0 + \Delta R + \Delta R_T\) und Korrekturwiderstand gegen Temperaturänderungen, \(R_1 = R_K\) und Empfindlichkeit \(E_2\):
Verhältnis: Wir nehmen an, dass der Fehler aufgrund von Temperatur, \(\Delta R_T\), klein im Vergleich zum Widerstandswert \(R_0\) ist, sodass \(2 \Delta R_T \approx \Delta R_T\). Dadurch kürzt sich der Nenner weg, wenn die beiden Empfindlichkeiten ins Verhältnis gesetzt werden und es folgt:
Die Möglichkeit Temperatur zu unterdrücken wird hauptsächlich durch die Wahl von den nominellen Widerstandswerten \(R_0\) bestimmt, die in der Brücke verbaut sind, und der zu messenden Größe \(\Delta R\). Je größer der Abstand zwischen \(R_0\) und \(\Delta R\), desto besser ist die Rauschunterdrückung.
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blogpost: true
date: Dec 11, 2023
category: Übung
location: Zettel_10
tags: Widerstand, Messbrücke, Elektronik, Sensor, DMS
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# Bestimmung des Drehmomentes einer Welle
Das Drehmoment einer Welle wird mit Hilfe der DMS-Messtechnik gemessen. Dehnungsmessstreifen (DMS) ändern aufgrund einer relativen Längenänderung $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ ihren Widerstandswert $R(\epsilon) = k\epsilon$.
Der $k$-Faktor beträgt hier 2,01 und der Widerstand beträgt $300\,\Omega$. DMS messen entlang einer Achse Längenänderung.
In dieser Aufgaben sollen DMS benutzt werden, um das Drehmoment einer Welle zu bestimmen.
Sie können entsprechend der Skizze die DMS unter einem Winkel von 45 Grad zur Längsachse der Welle anbringen. Die DMS der +45 Grad-Linie werden dadurch um $+\epsilon$ gedehnt und die der -45 Grad-Linie werden betragsmäßig gleich groß um $-\epsilon$ gestaucht.
Die Welle hat einen Durchmesser $D = 3{,}1\,\mathrm{cm}$, einen Elastizitätsmodul $E = 20{,}5 \cdot 10^{4}\,\mathrm{N/mm^{2}}$ und eine Querdehnungszahl von $\mu = 0{,}31$. Es wird eine Wheatstonesche Messbrücke mit Gleichstromspeisung verwendet, die im Ausschlagverfahren arbeitet und mit einer Gleichspannung von $U = 3{,}5\,\mathrm V$ versorgt wird. Zwischen Drehmoment $M_{D}$ und Dehnung $\varepsilon$ besteht folgende Beziehung:
$$M_{D} = \frac{E \pi D^{3} \epsilon}{16 (1+\mu)}$$
Die Formel für die Diagonalspannung $U_{d}$ in Abhängigkeit von $\epsilon$ ist:
$$U_{d} = \frac{1}{2}U_{0}k \epsilon$$
1. Die Brücke soll abgeglichen sein, wenn kein Drehmoment angreift. Wie groß sind die übrigen beiden Widerstände der Messbrücke?
```{tip}
:class: dropdown
Für den Abgleich gilt $U_d = 0$ und somit
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$$
Ist die von Ihnen gewählte Messbrücke temperaturkompensiert?
:class: dropdown
Vergleichen Sie hierfür die Anschaltung der DMS mit der Aufgabe [Ausschlagsmessbrücke]{Aussschlag-Messbrücke.md}.
Wie groß ist der in einem der beiden DMS fließende Strom?
:class: dropdown
Benutzen Sie ohm'sches Gesetz und betrachten Sie die Masche ganz linka:
$$U_ 0 = RI$$
Wie berechnet sich $R$, bestehend aus einer Reihenschaltung der beiden DMS?
Wie groß ist das Drehmoment, wenn eine Brückenausgangsspannung von \(880\,\mathrm{\mu V}\) angezeigt wird?
:class: dropdown
Formen Sie die Gleichung $U_{d} = \frac{1}{2}U_{0}k \epsilon$ nach $\epsilon$ um und setzen sie die in die Gleichung für $M_D$ ein. Setzen Sie alle Werte ein. ($M_D = 229\,\mathrm{Nm}$)
Welcher relative Maximal-Fehler ergibt sich für das unter d) ermittelte Drehmoment, wenn der Wellendurchmesser einen Fehler von \(\pm 0,2\,\mathrm{mm}\) aufweist und die Brückenspeisespannung auf \(\pm 3\)% stabilisiert ist? Die übrigen Elemente der Messbrücke seien fehlerfrei.
:class: dropdown
Für den absoluten Maximalfehler gilt:
$$\Delta y = \left| \frac{\partial y}{\partial x_1} \right| \cdot \Delta x_1+ \left|\frac{\partial y}{\partial x_2} \right| \cdot \Delta x_2 + \cdots$$
Spezialfall: Bei Multiplkation/Division addieren sich die *relativen* Messabweichungen und es folgt für den relativen Fehler:
$$\pm \frac{\Delta M_D}{M_D} = 3 \cdot \frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta U_0}{U_0} = 4{,}935\%$$
Zur Darstellung von Übertragungsverhalten werden Bode-Diagramme zur Darstellung des Frequenzgangs benutzt. Durch die logarithmische Darstellung der Amplitudenverhältnisse lassen sich aus mehreren Übertragungssystemen zusammengesetzte Systeme leichter analysieren. Die logarithmische Darstellung bildet nämlich die Multiplikation der einzelnen Funktionen auf eine einfache Addition ab.
Es sei folgendes Übertragungssystem gegeben:
```{figure} pictures/bode.png :class: .dark-light — height: 150px name: optional-label — Übertragungssystem mit vier Gliedern.
welches aus einem P-Glied, einem D-Glied, einem PT1-Glied und einen PD-Glied besteht.
$$H_1 = 10$$
$$H_2 = s$$
$$H_3 = \frac{1}{1+\frac{s}{4}}$$
$$H_4 = 1+\frac{s}{60}$$
Erstellen Sie das Bode-Diagramm, indem Sie die Amplitudengänge in dB eintragen und anschließend grafisch addieren. Analog erstellen Sie das Phasengang-Diagramm.
````{tip}
:class: dropdown
Was gilt für die Hintereinanderschaltung von Messsystemen im Laplace, bzw. Frequenzbereich? Schreiben Sie die Gesamt-Übertragungsfunktion hin.
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/cQH--8rpRw8?si=uPyVg9Jesb0BtUJU" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>
Dampfdruckthermometer Least-Square-Verfahren
Mit dem Dampfdruckthermometer kann die Temperatur aus dem Dampfdruck einer Flüssigkeit bestimmt werden. Die Flüssigkeit wird mit der Messstelle in einen thermischen Kontakt gebracht. Der Dampfdruck nimmt mit der Temperatur der Flüssigkeit beschleunigt zu und kann durch folgende Exponentialfunktion beschrieben werden:
\[ p_\mathrm{D}(T) = c \cdot \mathrm{e}^{-\frac{\Delta E}{kT}} \]
wobei \(c\) eine Konstante ist, \(k = 1{,}380649\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}\) die Boltzmann-Konstante und \(\Delta E\) die Verdampfungsenergie eines Moleküls. Durch Logarithmieren beider Seiten erhält man die äquivalente logarithmische Darstellung
\[\ln{p_\mathrm{D}} = A - B/T\]
mit den Materialkonstanten \(A\) und \(B\).
```{figure} pictures/dampfdruck.png
height: 100px
name: dampfdruck_ls
Kennlinie eines Dampfdruckthermometers
Bei der Least-Sqaure-Methode werden die Parameter (hier: $A$, $B$) wie folgt bestimmt:
$$b = A^{-1} \cdot y$$
Der Parametervektor $b$ bestimmt sich aus der Inversen der Funktionsmatrix $A$ und dem Messvektor $y$. Die Matrix $A$ enthält die Werte der Ansatzfunktion an den Messpunkten. Der Vektor $y$ enthält die Messwerte an den Stützstellen.
1. Bestimmen Sie die Materialkonstanten $A$, $B$ und $\Delta E$, $c$ mittels der Least-Square-Methode mit 3 Stützstellen.
1. Bestimmen Sie die Materialkonstanten $A$, $B$ und $\Delta E$, $c$ mittels der Least-Square-Methode mit 2 Stützstellen.
Hinweis: Um eine nicht quadratische Matrix zu invertieren, bilden Sie die Pseudoinverse $A^+$ der Matrix $A$:
$$A^+ = \left( A^T \cdot A\right)^{-1} \cdot A^T$$
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blogpost: true
date: Oct 18, 2023
category: Übung
location: Zettel_3
tags: Kennlinie, Empfindlichkeit
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# Dampfdruckthermometer
Mit dem Dampfdruckthermometer kann die Temperatur aus dem Dampfdruck einer Flüssigkeit bestimmt werden. Die Flüssigkeit wird mit der Messstelle in einen thermischen Kontakt gebracht. Der Dampfdruck nimmt mit der Temperatur der Flüssigkeit beschleunigt zu und kann durch folgende Exponentialfunktion beschrieben werden:
$$ p_\mathrm{D}(T) = c \cdot \mathrm{e}^{-\frac{\Delta E}{kT}} $$
wobei $c$ eine Konstante ist, $k = 1{,}380649\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ die Boltzmann-Konstante und $\Delta E$ die Verdampfungsenergie eines Moleküls. Durch Logarithmieren beider Seiten erhält man die äquivalente logarithmische Darstellung
$$\ln{p_\mathrm{D}} = A - B/T$$
mit den Materialkonstanten $A$ und $B$.
Bei richtiger Anpassung der Flüssigkeit an den zu messenden Temperaturbereich können sehr hohe Empfindlichkeiten erreicht werden, so dass die erforderliche Druckmessung mit einfachen Mitteln (beispielsweise einem Quecksilbermanometer) ausgeführt werden kann.
```{figure} pictures/dampfdruck.png
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height: 100px
name: dampfdruck
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Kennlinie eines Dampfdruckthermometers
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung die Materialkonstanten \(A\), \(B\) und \(\Delta E\), \(c\) für Wasser.
Bestimmen Sie die Empfindlichkeit bei den Temperaturen 20°C und 200°C.
Welche Empfindlichkeit erreicht ein Helium-Dampfdruckthermometer bei 1K (\(A_\mathrm{He} = 2\) und \(B_\mathrm{He} = 2{,}5\,\mathrm{K}\)) und ein Neon-Dampfdruckthermometer bei 20K (\(A_\mathrm{O2} = 4{,}6\) und \(B_\mathrm{O2} = 106\,\mathrm{K}\))?
Dichtemessung einer Flüssigkeit
Die Dichte eines flüssigen Mediums kann unter Ausnutzung des Archimedischen Prinzips ermittelt werden. Hiernach taucht ein Körper so weit in eine Flüssigkeit ein, bis die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit der Gewichtskraft des eingetauchten Körpers entspricht. Je kleiner also die Dichte der zu untersuchenden Flüssigkeit ist, desto tiefer wird ein schwimmender Prüfkörper in diese eintauchen.
Für entsprechende Messungen verwendete Prüfkörper heißen Senkspindel oder Aräometer und bestehen vereinfacht aus einem zylindrischen Glaskörper, wie in der Abbildung skizziert.
Damit der Prüfkörper in der Flüssigkeit in aufrechter Lage stabil schwimmt, ist er in seinem unteren Teil mit einem meist aus Blei bestehenden Gewicht beschwert. Der zylindrische Glaskörper trägt eine Skala, an welcher die Eintauchtiefe des Prüfkörpers abgelesen werden kann.
Im vorliegenden Fall hat der Glaskörper die Masse \(m_\mathrm{Glas}\) und sei mit einem zusätzlichen Bleigewicht der Masse \(m_\mathrm{Blei}\) beschwert. Die Eintauchtiefe, gemessen von der Unterkante des zylindrischen Prüfkörpers bis zum Spiegel der Flüssigkeit, wird von der Skala angezeigt und sei mit \(h\) bezeichnet. Der zylindrische Prüfkörper weise über die gesamte Länge den Durchmesser \(d\) auf. Die Dichte \(\rho\) des zu untersuchenden Mediums ist dann näherungsweise durch folgenden Zusammenhang definiert:
\[\rho = \frac{m_\mathrm{Blei} + m_\mathrm{Glas}}{\frac{1}{4} \pi d^2 h }\]
Im Folgenden soll die Dichte \(\rho\) auf der Grundlage von Messergebnissen für die Größen \(m_\mathrm{Glas}\), \(m_\mathrm{Blei}\), \(d\) und \(h\) einschließlich der wahrscheinlichen Abweichungsgrenzen ermittelt werden.
Die Massen \(m_\mathrm{Glas}\) und \(m_\mathrm{Blei}\) werden in einer gemeinsamen Wägung mittels einer elektronischen Präzisionswaage ermittelt. Die von der Waage angezeigte gemeinsame Masse von Glaskörper und Bleigewicht beträgt \(M = (m_\mathrm{Glas}+m_\mathrm{Blei}) = 14\,\mathrm g\). Die relative Unsicherheit der Waage wird vom Hersteller mit \(0{,}5\%\) des Anzeigewertes bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 98\%\) angegeben.
Der Durchmesser \(d\) des Glaszylinders wurde in \(n_d = 25\) Wiederholungen mittels einer Bügelmessschraube gemessen. Das vollständige Messergebnis des Durchmessers beträgt \(d = 12\,\mathrm{mm} \pm 0{,}011\,\mathrm{mm}\) bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 90\%\).
Die Eintauchtiefe \(h\) wird in insgesamt \(n_h = 7\) Wiederholungen von der Skala abgelesen. Dabei werden die in der Tabelle zusammengefassten Einzelmesswerte ermittelt:
\(i\)
0
1
2
3
4
5
7
\(h/\mathrm{mm}\)
157,2
157,0
156,6
156,9
157,0
156,1
157,9
Bestimmen Sie die Eindringtiefe \(h\) inklusive absoluter Messabweichung für \(P=98\%\).
Bestimmen Sie die Dichte und die absolute Messabweichung.
````{admonition} Zwischenergebnisse :class: dropdown Zwischenergebnisse für 98% Aussagewahrscheinlichkeit:
Hinweis: Allgemein gilt für die Umrechnung zwischen zwei Aussagewahrscheinlichkeiten folgender Zusammenhang für die Unsicherheiten, wobei die Werte für $t_{s;p}$ der Tabelle im Anhang zu entnehmen sind:
$$ u_{\alpha 1} = u_{\alpha 2} \cdot \frac{t_{n-1; 1-\alpha 1 / 2}}{t_{n-1; 1-\alpha 2 / 2}}.$$
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blogpost: true
date: Nov 08, 2023
location: Zettel_6
category: Übung
tags: Digitalisierung, Quantisierungsabweichung, Messabweichung
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# Quantisierungsabweichung infolge der Digitalisierung
* Die relative Abweichung infolge der Quantisierung soll kleiner als 0,02% bleiben. Wie groß muss die Auflösung des zu verwendenden AD-Wandlers mindestens sein?
* AD-Wandler werden häufig mit einem Full-Scale-Wert von FS = 10 V realisiert. Wie groß ist der Spannungswert, der ein Umschalten des LSB bewirkt, für einen 10, 14 und 16-Bit AD-Wandler?
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blogpost: true
date: Nov 15, 2023
location: Probeklausur
category: Single-Choice
tags: Digitalisierung, Quantisierungsabweichung, Messabweichung
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# Digitalisierung
Ein analoges Spannungssignal im Bereich von $-12\,\mathrm{V}$ bis $+12\,\mathrm{V}$ soll so digitalisiert werden, dass die maximale Abweichung infolge von Quantisierung $100\,\mathrm{\upmu V}$ beträgt. Geben Sie an, mit wie viel Bit der A/D-Umsetzer mindestens arbeiten muss!
- $15$ Bit
- $16$ Bit
- $17$ Bit
- $18$ Bit
- $19$ Bit
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Single-Choice
tags: Digitalisierung, Quantisierungsabweichung
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# Digitalisierung
Ein analoges Spannungssignal im Bereich von $-12\,\mathrm V$ bis $+12\,\mathrm V$ soll so digitalisiert werden, dass der maximale Quantisierungsfehler $2\,\mathrm{mV}$ beträgt. Geben Sie an, mit wie viel Bit der A/D-Umsetzer mindestens arbeiten muss!
- $11$ Bit
- $12$ Bit
- $13$ Bit
- $14$ Bit
- $15$ Bit
- $16$ Bit
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Multiple-Choice
tags: Einheiten
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# Einheiten umrechnen
Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungen korrekt sind!
- $1\cdot 10^5\,\mathrm{mN}+0{,}1\,\mathrm{kN}=200\,\mathrm{N}$
- $100\,\mathrm{cm^3} + 0{,}1\,\mathrm{dm^3} = 2\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^3}$
- $100\,\mathrm{hPa}=1\,\mathrm{kPa}$
- $100\,\mathrm{\upmu g}=0{,}1\,\mathrm{mg}$
- $10\,\mathrm{kg} \cdot 100\,\mathrm{mm/s^2} = 1\,\mathrm{N}$
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blogpost: true
date: Nov 15, 2023
location: Probeklausur
category: Multiple-Choice
tags: Einheiten
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# Einheiten umrechnen
Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungen korrekt sind!
- $1\, \text{MPa} = 10^3\, \text{GPa}$
- $10^3\, \text{cm}^3 + 1\, \text{dm}^3 = 2 \cdot 10^{-3}\, \text{m}^3$
- $1000\, \mu\text{m/ms} = 1\, \text{m/s}$
- $100\, \text{nF} = 0,1 \, \text{pF}$
- $2\, \text{mA} + 200\, \mu\text{A} = 2,2 \cdot 10^{-3}\, \text{A}$
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blogpost: true
date: Nov 08, 2023
location: Zettel_6
category: Übung
tags: Mittelwert, Kenngrößen, Wechselspannung
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# Einweg-Gleichrichter
```{figure} pictures/gleichrichter2.png
:class: .dark-light
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height: 100px
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Einweg-Gleichrichter
```
Gegeben sei eine sinusförmige Spannung $u(t)$ mit einer Amplitude von $5\,\mathrm V$ und der Periode $T$.
Skizzieren Sie den Kurvenverlauf der Spannung bei einer Einweg-Gleichrichtung und berechnen Sie den Einweg-Gleichrichtwert. Der quadratische Mittelwert der Wechselspannung wird gemessen, welcher Wert ergibt sich hier? Welche Werte folgen für Scheitel- und Formfaktor?
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Multiple-Choice
tags: Empfindlichkeit
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# Empfindlichkeit eines Messgerätes
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen hinsichtlich der Empfindlichkeit eines Messgerätes zutreffend sind!
- Die Empfindlichkeit eines Messgerätes ist definiert als Steigung der Kennlinie im jeweiligen Arbeitspunkt.
- Der k-Faktor bzw. die Dehnungsempfindlichkeit beim Dehnungsmessstreifen ist materialunabhängig.
- Die Linearitätsabweichung von Kennlinien kann in Kalibrier- und Eichlaboren bestimmt werden.
- Um die Gesamtempfindlichkeit zu ermitteln, werden die Empfindlichkeiten der einzelnen Glieder einer Messkette aneinander addiert.
- Durch Herabsetzen des Messbereiches können Nichtlinearitäten in der Kennlinie vermieden werden.
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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: Zettel_8
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Sprung
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# Faltungsintegral
Gegeben sei ein RC-Tiefpass 1. Ordnung. Die Impulsantwort $h(t)$ ist für $T = RC$ wiefolgt gegeben:
$$h(t) = \frac{1}{T}\epsilon(t) \mathrm e^{-t/T}$$
wobei
$$\epsilon(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{sgn}(t)$$
gilt und $\mathrm{sgn}(t)$ die "Vorzeichenfunktion" ist:
$$\mathrm{sgn}(x) = 2 H(x) - 1$$
mit der Heaviside-Funktion $H(x)$
\begin{align}
H \colon \; & \mathcal R \to \{0,1\} \\
\ & x \mapsto \begin{cases}
0 : & x < 0\\
1 : & x \ge 0
\end{cases}
\end{align}
## Aufgabe 1: Sprungantwort
Berechnen Sie mit Hilfe des Faltungsintegrals die Sprungantwort $y(t)$ des Systems.
* Zu welcher Zeit werden 63\% und 95\% des Endwertes erreicht?
* Skizzieren Sie Impulsanregung und Impulsantwort, sowie Sprunganregung und Sprungantwort.
````{tip}
:class: dropdown
Die angelegte Sprungfunktion kann über die Heaviside Funktion ausgedrückt werden: $f(\tau) = x_0 \cdot H(\tau)$. Berechnen Sie dann das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen aufgeteilt werden können.
$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = x_0 \left( \mathrm e^{-t/\tau} \right)$$
Aufgabe 2: Systemantwort
Berechnen Sie die Systemantwort \(y(t)\) bei einer sprunghaften Anregung \(u(t)\) mit Hilfe des Faltungsintegrals (\(T_0 > T\)).
:class: dropdown
Berechnen Sie das Faltungsintegral. Überlegen Sie sich, wie die Integrationsgrenzen für Heaviside-Funktionen und Rechteckpuls aufgeteilt werden können.
$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau = ... = 1- \mathrm e^{-t/\tau} $$
Fourierreihe einer Dreieck-Schwingung
Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Dreieck-Schwingung. Wie lauten die Koeffizienten für \(k = 1,2,3,4,5\)? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.
````{admonition} Formeln für die rellen Fourier-Reihen
:class: dropdown
Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um $x(t)$ in einer Reihe zu entwickeln:
$$x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)$$
Der Mittelwert (Gleichanteil) $x_0$ und die Koeffizienten, $a_k$ und $b_k$ berechnen sich durch die Integrale:
$$x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$$
$$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt $$
$$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt $$
````{admonition} Formeln für die komplexe Fourier-Reihen :class: dropdown
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:
\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]
Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:
Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:
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blogpost: true
date: Nov 01, 2023
location: Zettel_5
category: Übung
tags: Fourierreihe, Rechteck
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# Fourierreihe eines Rechteckpulses
Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Sägezahn-Spannung. Wie lauten die Koeffizienten für $k = 1,2,3,4,5$? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.
```{figure} pictures/functions1.png
:class: .dark-light
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height: 100px
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Rechtecksignal
```
````{admonition} Formeln für die rellen Fourier-Reihen
:class: dropdown
Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um $x(t)$ in einer Reihe zu entwickeln:
$$x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)$$
Der Mittelwert (Gleichanteil) $x_0$ und die Koeffizienten, $a_k$ und $b_k$ berechnen sich durch die Integrale:
$$x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$$
$$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt $$
$$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt $$
````{admonition} Formeln für die komplexe Fourier-Reihen :class: dropdown
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:
\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]
Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:
Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:
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blogpost: true
date: Nov 01, 2023
location: Zettel_5
category: Übung
tags: Fourierreihe, Sägezahn
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# Fourierreihe einer Sägezahn-Spannung
Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Fourier-Reihe für die gegebene Sägezahn-Spannung. Wie lauten die Koeffizienten für $k = 1,2,3,4,5$? Skizzieren Sie das Betragsspektrum.
```{figure} pictures/functions2.png
:class: .dark-light
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height: 100px
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Sägezahnsignal
```
````{admonition} Formeln für die rellen Fourier-Reihen
:class: dropdown
Die reelle Darstellungsform benutzt Sinus- und Cosinusfunktionen um $x(t)$ in einer Reihe zu entwickeln:
$$x(t) = x_0 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos(2\pi k f_0 t) + \sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin(2\pi k f_0 t)$$
Der Mittelwert (Gleichanteil) $x_0$ und die Koeffizienten, $a_k$ und $b_k$ berechnen sich durch die Integrale:
$$x_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt$$
$$a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(2\pi k f_0 t) dt $$
$$b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(2\pi k f_0 t) dt $$
````{admonition} Formeln für die komplexe Fourier-Reihen :class: dropdown
Die komplexe Darstellung der Fourierreihe ist insbesondere in der Elektrotechnik weit verbreitet und lautet:
\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underline{c}_k \mathrm e^{j 2\pi k f_0 t}\]
Die imaginäre Einheit ist hierbei durch \(j\) bezeichnet. Für \(k=0\) erhalten wir wieder den Mittelwert \(x_0\) und die zugehörigen Koeffizienten, jetzt mit \(c_k\) bezeichnet, berechnen sich mittels:
Die komplexen Koeffizienten verhalten sich zueinander komplex konjugiert: \(\underline{c}_{-k} = \underline{c}^*_{k}\). Die komplexen Koeffizienten können in die reellen Koeffizienten umgeformt werden und andersherum:
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blogpost: true
date: Nov 01, 2023
location: Zettel_5
category: Übung
tags: Fourier-Transformation, Rechteck
---
# Fourier-Transformation Rechteck
Gegeben ist die folgenden Zeitfunktionen $x(t)$:
```{figure} pictures/FT_rechteck.png
:class: .dark-light
---
height: 100px
---
Rechteckimplus $x(t)$ mit einer Amplitude $\hat x = 1$.
```
Berechnen Sie die Spektralfunktion $X(f)$ von $x(t)$ durch Anwendung der Rechenregeln der Fourier-Transformation.
Die Fourier-Transformation berechnet sich über:
$$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm e^{-j\omega t} dt$$
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blogpost: true
date: Nov 23, 2023
category: Übung
tags: Fourier-Transformation, Sägezahn
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# Fourier-Transformation Sägezahn
Gegeben sind die folgenden zwei Zeitfunktionen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ in der Abbildung.
```{figure} pictures/Ft_signal.png
:class: .dark-light
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height: 100px
---
Sägezahnsignale
```
* Berechnen Sie die Spektralfunktion $X_1(f)$ von $x_1(t)$ mittels der Fourier-Transformation:
$$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm e^{-j\omega t} dt$$
* Berechnen Sie aus $X_1(f)$ die Spektralfunktion $X_2(f)$ von $x_2(t)$ durch Anwendung der Rechenregeln der Fourier-Transformation.
Hinweis: $\int x \mathrm e^{ax} = \frac{\mathrm e^{ax}}{a^2}(ax-1)$.
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blogpost: true
date: Nov 22, 2023
location: Zettel_7
category: Übung
tags: Faltung, Rechteck
---
# Grafische Faltung
Ein System habe die Impulsantwort
$$h(t) = 2{,}5 A \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-1{,}5t_0}{t_0}\right) + A \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-3t_0}{2t_0}\right) + 2 A \cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-5{,}5t_0}{3t_0}\right).$$
Die Rechteckfunktion ist wiefolgt definiert:
$$
\operatorname{rect}(t) = \Pi(t) = \begin{cases}
0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \text{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1 & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}
\end{cases}
$$
Eine Rechteckfunktion, die bei $t_0$ zentriert ist und eine Dauer von $T$ hat, wird ausgedrückt durch
$$\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T} \right)$$
ausgedrückt.
Am Eingang des Systems liegt das Signal $x(t)$ aus der folgenden Abbildung an.
```{figure} pictures/xt.png
:class: .dark-light
---
height: 300px
name: optional-label
---
Eingangssignal $x(t)$.
```
* Skizzieren Sie die Impulsantwort $h(t)$. Stellen Sie die Formel für $x(t)$ auf.
* Stellen Sie das Faltungsintegral $y(t) = h(t) * x(t)$ auf.
* Berechnen Sie es mithilfe der grafischen Faltung.
```{button-link} https://kisleif.github.io/mtbook/_website/_images/grafischeFaltung.pdf
:color: primary
Download der Anleitung zur Grafischen Faltung.
```
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blogpost: true
date: Oct 25, 2023
location: Zettel_4
category: Übung
tags: Lineare Regression, Mittelwert
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# Hall-Konstante: Lineare Regression
Um die Hall-Konstante $A_\mathrm H$ eines neuen Werkstoffs zu bestimmen haben Sie eine Messreihe durchgeführt, bei welcher in bestimmten Arbeitspunkten jeweils Strom und Spannung an einem Hall-Element gemessen wurden. Unter Berücksichtigung der relevanten Konstanten – magnetische Flussdichte und Dicke des Hall-Elements – erhalten Sie die in nachfolgender Tabelle zusammengefassten $x-y$-Wertepaare:
| $x / (\mathrm{kV\cdot C/m^3})$ | 0,5 | 0,75 | 1,0 | 1,25 | 1,5 |
|-------------------------------|-------|-------|-------|-------|-------|
| $y/\mathrm{V}$ | 3,6 | 6,02 | 7,96 | 9,99 | 12,03 |
* Prüfen Sie anhand des Korrelationskoeffizienten wie stark die Messwerte gestreut sind:
$$r = \frac{\mathrm{cov}_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\overline x)\cdot (y_i-\overline y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i-\overline x)^2} \cdot \sqrt{ \sum_{i=1}^N (y_i-\overline y)^2}}.$$
* Berechnen Sie die gesuchte Hall-Konstante $A_\mathrm H$, welche sich aus dem Regressionskoeffizienten der obigen Messwerte ergibt:
$$ m = \frac{N \cdot \sum_{i=1}^N (x_i y_i) - \sum_{i=1}^N x_i \sum_{i=1}^N y_i}{N \cdot x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^N x_i\right)^2}.$$
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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: Zettel_8
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Impuls
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# Impulsantwort hintereinander geschalteter Systeme
Hinter einem Übertragungskanal mit der Impulsantwort $h_K(t)$ befindet sich der Filter eines Empfängers mit der Impulsantwort $h_E(t)$. Das System ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
```{figure} pictures/hintereinanderschaltung.png
:class: .dark-light
---
height: 300px
name: optional-label
---
Hintereinanderschaltung zweier Messsysteme.
```
Es gilt:
$$h_K(t) = H_K \cdot u(t) \mathrm e^{-t/T_K}, \qquad h_E(t) = H_K \cdot u(t) \mathrm e^{-t/T_E} \qquad (T_E > T_K)$$
* Wie lautet die Impulsantwort $h_\mathrm{ges}(t)$ des Gesamtsystems?
* Skizzieren Sie $h_\mathrm{ges}(t)$.
````{tip}
:class: dropdown
Berechnen Sie das Faltungsintegral
$$h_\mathrm{ges}(t) = h_K \ast h_E = \int_{-\infty}^{\infty} h_K(\tau) \cdot h_E(t-\tau) d\tau = ... = \frac{T_K T_E}{T_E-T_K} \cdot H_K \cdot \left( \mathrm e^{-t/T_E} - \mathrm e^{-t/T_K} \right)$$
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Übungen zur Messtechnik
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Interferometrische Längenmessung
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen hinsichtlich der interferometrischen Längenmessung zutreffend sind!
Zur interferometrischen Längenmessung wird in der Regel ein Laserstrahl in zwei Teilstrahlen aufgespalten und über verschiedene Wege geführt. Der Referenzstrahl durchläuft einen festen Referenzarm, während der Messstrahl einen Messarm variabler Länge durchläuft.
Da die Phasenlage des Lichtes von der zurückgelegten Wegstrecke abhängig ist, ist der Messstrahl gegenüber dem Referenzstrahl phasenverschoben.
Die am Empfänger detektierbare Intensität variiert aufgrund von Interferenz in Abhängigkeit von der relativen Phasenlage von Mess- und Referenzstrahl.
Da der Messstrahl den Messarm hin und zurück durchläuft, entspricht die Periodenlänge des Ausgangssignals der doppelten Laserwellenlänge.
Bei der interferometrischen Längenmessung handelt es sich um ein absolut messendes Verfahren, so dass eine kurzzeitige Unterbrechung des Strahlverlaufs problematisch ist.
Interferometrische Längenmessverfahren
Erläutern Sie das interferometrische Längenmessverfahren und geben Sie an, welche Einschränkungen bei solchen inkrementalen Längenmessungen auftauchen.
Welche Besonderheit weist die Kennlinie auf, skizzieren sie diese grob als Funktion der Phase? Zeichnen Sie ein, in welchem Bereich die Kennlinie linear ist?
Kalibrierung und Justierung
Geben Sie zwei Justierungsmöglichkeiten an, mit denen Sie eine reale Kennlinie korrigieren können. Wie viele Kalibrierpunkte werden jeweils benötigt?
Kapazitive Füllstandsmessung
Bei der kapazitiven Füllstandsmessung nutzt man die Tatsache aus, dass Flüssigkeiten eine relative Dielektrizitätskonstante \(\epsilon_r\) größer als eins besitzen. Als Messgrößenumformer kommt daher ein Kondensator zum Einsatz, der durch die Behälterwand und eine Stabelektrode gebildet wird (siehe Abbildung).
Wird der dargestellte Behälter mit Flüssigkeit befüllt, so nimmt gleichzeitig die Kapazität des Kondensators zu. Es existiert ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Gesamtkapazität \(C_G\) und der Füllhöhe \(h\), welcher als Berechnungsgrundlage für die Auswertung herangezogen werden kann. Die zu bestimmende Füllhöhe \(h\) ergibt sich gemäß folgendem formelmäßigen Zusammenhang:
Hierin steht \(H\) für die maximale Füllhöhe des Behälters, \(\epsilon_r\) für die relative Dielektrizitätskonstante des Füllmediums, \(C_G\) für die variable Gesamtkapazität des Behälters bei jeweiliger Befüllung, \(C_K\) für den konstanten Anteil der Kapazität, welcher vorwiegend aus der Kapazität zwischen Sonde und Deckel sowie Sonde und Boden gebildet wird, und \(C_E\) für die über die Höhe \(H\) gemessene Kapazität des leeren Behälters.
Im Folgenden soll die Füllhöhe $h$ des Behälters auf der Grundlage von Messergebnissen für die Größen $H$, $\epsilon_r$, $C_G$, $C_K$ und $C_E$ einschließlich der wahrscheinlichen Abweichungsgrenzen ermittelt werden. Die maximale Füllhöhe $H$ wird vom Hersteller des Behälters mit einem Nennwert von $H = 5000\mathrm{mm}$ angegeben. Das Konfidenzintervall der maximalen Füllhöhe $H$ gibt der Hersteller mit $\pm 0{,}05 \%$ vom Nennwert bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von $P=95\%$ und sehr großen Stichprobenumfang $n$ an. Als Füllmedium des Behälters wird Wasser eingesetzt, welches unter den herrschenden Umgebungsbedingungen eine relative Dielektrizitätskonstante von $\epsilon_r = 80$ aufweist. Dieser Wert kann als exakt angesehen werden. Die Kapazität $C_K$ wird vom Hersteller des Behälters mit $C_K = 40\mathrm{pF}$ angegeben. Dieser Wert kann als exakt angesehen werden. Die Kapazität $C_E$ wurden im Vorfeld experimentell in $n = 25$ Versuchen bestimmt. Das ermittelte Messergebnis beträgt $C_E = 240\mathrm{pF} \pm 1\mathrm{pF}$ bei $P = 99\%$. Die Gesamtkapazität $C_G$ wird im Zuge der Versuchsdurchführung mit insgesamt $n = 9$ Einzelmessungen ermittelt. Die dabei erhaltenen Einzelmesswerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst.
| $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $C_G /\mathrm{pF}$ | 3335 | 3405 | 3349 | 3381 | 3417 |
Berechnen Sie die gesuchte Füllhöhe $h$ des Behälters und geben Sie das vollständige Messergebnis mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von $P = 95\%$ an!
*Hinweis: Für alle Messgrößen kann eine Normalverteilung vorausgesetzt werden.*
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blogpost: true
date: Nov 23, 2023
category: Übung
tags: Sensor, Kapazität, Kennlinie
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# Kapazitiver Sensor für Füllstandsmessung
Ein Plattenkondensator ($H$: Höhe der Platten, $B$: Breite der Platten, $d$: Plattenabstand) wird zur Füllhöhenmessung von Bier (wahlweise „Astra“ oder „Herry“) in einem Brauereibehälter eingesetzt. Der Behälter ist bis zur Höhe $h$ mit dem jeweiligen Bier gefüllt, der restliche Behälter ist mit Luft gefüllt.
* Zeichnen Sie die Anordnung (Skizze und Beschriftung!) und leiten Sie allgemein die Kennlinie dieses Sensors als Funktion der Füllhöhe, $h$, her unter der Annahme, dass es sich um einen idealen Plattenkondensator handelt. (Hilfe: Kapazität $C = f (h)$, Parallelschaltung zweier Kapazitäten für den Bereich *flüssig* und *Luft*.)
* Wie groß ist das Messsignal des Sensors bei einer Füllhöhe von $h = 0{,}5\,\mathrm m$?
($\varepsilon_0=8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/Vm}$, $\varepsilon_{r,\mathrm{Alc.}} = 25{,}8$, $\varepsilon_{r,\mathrm{Luft}} = 1$, $B=0{,}5\,\mathrm m$, $H = 1\,\mathrm m$, $d = 0{,}01\,\mathrm m$).
* Skizzieren Sie die Kennlinie für eine Füllstandshöhe zwischen 0 und 1m.
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Übung
tags: Statistisch, Mittelwert, Standardabweichung, Fehlerfortpflanzung
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# Kolbenmanometer
Ein Kolbenmanometer, auch als Druckwaage bezeichnet, ist ein Instrument, mit welchem in einer Flüssigkeit oder einem Gas ein definierter Druck dargestellt werden kann, indem auf einen Kolben mit bekanntem Querschnitt eine definierte Kraft ausgeübt wird. In der Praxis werden hierzu auf den Kolben Massestücke aufgelegt, welche im Schwerefeld der Erde eine Gewichtskraft auf den Kolben ausüben.
```{figure} pictures/kolbenmanometer.png
:class: .dark-light
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height: 150px
name: optional-label
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Prinzipskizze eines Kolbenmanometers
Der infolge der Gewichtskraft der Massestücke im Medium herrschende Druck \(p\) kann durch folgenden formelmäßigen Zusammenhang angegeben werden:
\[ p = \frac{4 \cdot M \cdot g}{\pi \cdot D^2}\]
Hierin ist \(M\) die Gesamtmasse aller aufgelegten Massestücke, \(g\) ist die am Versuchsstandort herrschende Fallbeschleunigung und \(D\) ist der Durchmesser des kreisförmigen Kolbenquerschnitts. Die Gesamtmasse \(M\) wird hierbei durch Auflegen von insgesamt \(k\) Massestücken der Einzelmasse \(m\) erzeugt.
Im Folgenden soll der Druck \(p\) auf der Grundlage von Messergebnissen für die Größen \(m{,}\)\(D\) und \(g\) einschließlich der wahrscheinlichen Abweichungsgrenzen ermittelt werden.
Die verfügbaren Massestücke weisen jeweils eine Einzelmasse \(m\) auf, die vom Hersteller mit \(m = 5{,}\mathrm{kg} \pm 0{,}001\mathrm{kg}\) bei \(P = 98\%\) angegeben wird. Im hier betrachteten Betriebspunkt werden zur Darstellung der Gesamtmasse \(M\) insgesamt \(k = 9\) dieser als voneinander unabhängig anzusehenden Massestücke aufgelegt.
Die Fallbeschleunigung \(g\) an den möglichen Versuchsstandorten innerhalb der Gravitationszone 4 wurde anhand einer sehr großen Zahl von Datenbankwerten im Vorfeld mit \(g = 9{,}813\mathrm{m/s^2} \pm 0{,}0015\mathrm{m/s^2}\) bei \(P = 95\%\) abgeschätzt.
Der Kolbendurchmesser \(D\) wurde bei der Herstellung des Kolbenmanometers zehnmal gemessen. Dabei ergaben sich die in Tabelle \(\ref{tb:1}\) zusammengefassten Einzelmesswerte:
\(i\)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
\(D /\mathrm{mm}\)
20{,}001
19{,}998
19{,}999
20{,}001
20{,}002
19{,}998
20{,}002
19{,}998
19{,}997
20{,}003
Berechnen Sie den gesuchten Druck \(p\) und geben Sie das vollständige Messergebnis mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 98\%\) an!
Hinweis: Für alle Messgrößen kann eine Normalverteilung vorausgesetzt werden.
png
Kontinuierliche und Diskrete Signale
Geben Sie an, von welcher Art das nachfolgend abgebildete Signal hinsichtlich seines Verhaltens in Zeit- sowie in Amplitudenrichtung ist!
Ein piezoelektrischer Kraftaufnehmer in Form einer Plattenkondensatoranordnung aus Quarz mit der Empfindlichkeit \(k=2{,}3\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/N}\), der Fläche \(A=10\,\mathrm{cm^2}\), der Dicke \(d=1\,\mathrm{mm}\), dem spezifischen Widerstand \(\rho=1014\,\mathrm{\Omega cm}\), der relativen Dielektrizitätszahl \(\varepsilon_r=5\) wird mit einer Kraft \(F=103\,\mathrm N\) belastet (Hinweis: \(\varepsilon_0=8{,}854\cdot 10^{-12}\,\mathrm{As/Vm}\)).
Zeichnen Sie den schematischen Aufbau mit Ladungsteilung und das zugehörige Ersatzschaltbild (Parallelschaltung von Kapazität des Dielektrikums, \(C_Q\), und Widerstand des Materials, \(R_Q\). \(U_Q\): Spannung Quarz, \(i\): Strom).
Berechnen Sie den Innenwiderstand \(R_Q\).
Wie groß ist die Kapazität \(C_Q\) des Kraftaufnehmers?
Welche Ladung \(Q\) kann bei der vorgegebenen Kraft entstehen?
Auf welche Spannung lädt sich der Quarz-Kristall auf?
Die Spannung des Quarzes nimmt mit der Zeitkonstante \(T_Q\) ab. Nach welcher Zeit müsste die Messung abgeschlossen sein, damit der Messwert höchstens \(1\%\) falsch ermittelt wird?
Wir wollen die rein durch die jeweilige Anschaltung entstehenden Messabweichungen einer Leistungsmessung bei Gleichstrom an einem Beispiel aufzeigen. Hierzu nehmen wir einen handelsüblichen Gleichstrommotor als Verbraucher an, der laut Datenblatt bei Speisung mit \(24\,\mathrm V\) Gleichspannung einen Nennstrom von \(3{,}0\,\mathrm A\) verbraucht.
Welcher Leistungsaufnahme entspricht dies?
Wie groß ist offensichtlicherweise der Innenwiderstand (konkret ist das hier der Wicklungswiderstand der Spulen im Motor)?
Wir wollen diesen Motor nun auch exakt mit \(24\,\mathrm V\) Gleichspannung z.B. an einem Netzteil betreiben und verwenden zur Leistungsbestimmung einen Spannungsmesseingang mit \(1\,\mathrm{M\Omega}\) Innenwiderstand sowie einen Strommesseingang mit \(1\,\mathrm{\Omega}\) Innenwiderstand. Mit welcher Messabweichung ist bei stromrichtiger bzw. spannungsrichtiger Anschaltung zu rechnen?
:class: dropdown
$$P = UI = I\cdot (U + I\cdot R_{iA}) = UI + I^2\cdot R_{iA} \Rightarrow \Delta P = ... = 9\,\mathrm W$$
$$P = UI = U\cdot (I + U / R_{iV}) = UI + U^2/R_{iV} \Rightarrow \Delta P = ... = 5{,}76\cdot 10^{-4}\,\mathrm W $$
Wie groß ist die Messabweichung bei Verwendung eines qualitativ eher nicht so hochwertigen Strommesseingangs mit \(10\,\mathrm{\Omega}\) Innenwiderstand bei einer stromrichtigen Schaltung?
Leistungsmessung bei Wechselgrößen
Es stehen zwei Leistungsmesser W1 und W2 zur Verfügung, deren Strompfade mit dem Strom \(i_1 = i_2 = \hat i \sin(\omega t + \varphi)\) beaufschlagt sind. Am Spannungspfad von W1 liegt \(u_1 = \hat u \sin(\omega t)\) und an W2 liegt \(u_2=\hat u \cos(\omega t)\).
Geben Sie in allgemeiner Form die Momentanwerte der Leistung \(p_1(t) = u_1i_1\) und \(p_2(t) = u_2i_2\) an.
Was zeigen die Leistungsmesser W1 und W2 an? Geben Sie einen Ausdruck für \(\overline p_1 = f(\hat u, \hat i, \varphi)\) und \(\overline p_2 = f(\hat u, \hat i, \varphi)\) an. (Hinweis: Wirkleistung ist gesucht, also der arithmetische Mittelwert).
Geben Sie den Phasenwinkel \(\varphi = f(\overline p_1, \overline p_2)\) und die Scheinleistung \(S = UI = \frac{1}{2}\hat u \hat i\) an.
Gegeben seien die folgenden Zahlenwerte: \(\hat u = 10\,\mathrm V\), \(\hat i = 100\,\mathrm{mA}\), \(\omega = 314\,\mathrm{s^{-1}}\), \(\varphi = 45^\circ\). Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf von \(p_1(t)\). Berechnen Sie \(\overline p_1\) and \(\overline p_2\).
Messunsicherheiten
Welche zwei Typen von Messunsicherheiten gibt es? Welche Unsicherheiten sind reproduzierbar und unter welchen Bedingungen korrigierbar? Welche Unsicherheiten machen ein Ergebnis unpräzise/unsicher und welche machen es unrichtig?
Normalverteilte Notenverteilung
Bei einer Prüfung haben die insgesamt 12 Teilnehmer die in nachfolgender Tabelle zusammen gefassten Noten erzielt:
Teilnehmer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Note
2
1
4
2
3
1
3
4
4
2
5
4
Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung obiger Notenverteilung an!
Passiver CR-Hochpass 1. Ordnung
In der Vorlesung wurde das Zeitverhalten der RC-Tiefpass-Schaltung erläutert. In dieser Aufgabe sollen die dort gebrachten Überlegungen auf ein CR-Hochpass-Messglied angewendet werden. Gegeben ist die Schaltung in der Abbildung.
Geben Sie für die CR-Schaltung den komplexen Frequenzgang $\underline G(jf) = \frac{\underline U_a(f)}{U_e(f)}$ an (über DGL oder komplexe Impedanzen). Spalten Sie den Frequenzgang in seinen Realteil und Imaginärteil. Geben Sie den Amplitudengang $G(f) = |G(jf)|$ und Phasengang in Abhängigkeit von $f_g = 1/(2\pi R C)$ an. Welchen Wert hat der Amplitudengang für den Grenzfall $f = 0\,\mathrm{Hz}$ und $f = f_g$? Skizzieren Sie Amplituden- und Phasengang für folgende Fälle:
$$U_0 = 1\,\mathrm V$, $R = 0,16\,\mathrm{M\Omega}$ und $C = 1\,\mathrm{\upmu F}$$
$$U_0 = 1\,\mathrm V$, $R = 0,16\,\mathrm{M\Omega}$ und $C = 200\,\mathrm{nF}$$
Geben Sie die DGL an. Bestimmen Sie die Sprungantwort des Hochpass-Messgliedes für den Fall, dass sich die Eingangsspannung zur Zeit $t=0\,\mathrm s$ sprunghaft von $u_\mathrm e(t=0\,\mathrm s) = 0\,\mathrm V$ auf $u_\mathrm e(t>0\,\mathrm s) = U_0$ ändert. Nutzen Sie hierfür den für eine Sprunganregung typischen exponentiellen Ansatz, wobei $K_0$ und $\gamma$ Konstanten sind, die zu bestimmen sind:
$$ u_\mathrm a(t) = K_0 \cdot \mathrm e^{-\gamma t}$$
Skizzieren Sie die Sprungantworten für die angegebenen Fälle.
````{tip}
:class: dropdown
Hinweis zum Lösen der DGL:
* Lösen Sie zuerst die homogene DGL (ohne Anregung, $u_\mathrm{e}(t)=0$).
* Finden Sie die partikuläre Lösung für $t \rightarrow \infty$, wenn sich der Kondensator voll aufgeladen hat ($u_\mathrm a(t)$=?).
* Geben Sie den allgemeinen Lösungsansatz an (Summe aus homogener und partikulärer Lösung).
* Bestimmen Sie die Konstanten mithilfe der gegebenen Anfangsbedingungen.
Passiver RC-Tiefpass 1. Ordnung
Ein Messgerät mit einem Verzögerungsverhalten 1. Ordnung, also einem Tiefpassverhalten, und einer 3dB-Grenzfrequenz von \(f_0 = 1\,\mathrm{MHz}\) wird mit einem periodischem Spannungssignal beaufschlagt.
Berechnen Sie die Ausgangsspannungen (inkl. Phasen) und skizzieren Sie das Amplitudenspektrum für Eingangs- und Ausgangssignal in einem Diagramm. Wie hoch darf die Frequenz eines Messsignals höchstens sein, wenn der frequenzabhängige Amplitudenabfall kleiner als 1% sein soll?
Phasenanschnittsteuerung
An einem Widerstand wird die umzusetzende Leistung mit einem Thyristorsteller, der eine Phasenschnittsteuerung realisiert, eingestellt. Gegeben sind die sinusförmige Wechselspannung mit \(U = 230\,\mathrm V\), der Widerstand des Verbrauchers mit \(R=1{,}5\,\mathrm{k\Omega}\) und der Phasenanschnittwinkel \(\phi = 45^\circ\). Ermitteln Sie die im Widerstand \(R\) umgesetzte Leistung.
---
blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Kurzfrage
tags: Sensor, Piezo
---
# Piezoelektrischer Sensor
Skizzieren Sie den Aufbau eines Piezoelektrischen Kristalls und erläutern Sie dessen Wirkungsweise! Geben Sie mindestens zwei physikalische Größen an, die mittels Piezoelektrizität gemessen werden können.
---
blogpost: true
date: Nov 15, 2023
location: Probeklausur
category: Multiple-Choice
tags: Mittelwert, Fourierreihe, Effektivwert, Abtastung
---
# Rechteckpuls
Gegeben ist ein Rechteckpuls mit einer Amplitude von $1\,\mathrm V$ und einer Periodendauer von $1\,\mathrm{ms}$. Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffend sind!
```{figure} pictures/rechteck2.png
:class: .dark-light
---
height: 150px
---
Rechteckpuls
Der Mittelwert \(\overline u_{0}\) ist Null.
Die Fourier-Koeffizienten $b_k = {-T/2}^{T/2} u{e}(t) (2k f_0 t) dt $ sind alle Null.
Die Grundfrequenz ist \(f = 1\,\mathrm{kHz}\).
Der Effektivwert ist $u_ 107, $.
Eine Abtastung des Rechtecksignals mit einer Abtastfrequenz von \(f_{s} = 2\,\mathrm{kHz}\) ist ausreichend, um Informationsverlust bei der Digitalisierung zu vermeiden.
Unbekannt Schaltung identifizieren
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen über die nachfolgend abgebildete Schaltung zutreffend sind!
Bei der Schaltung handelt es sich um eine Wheatstone-Brücke.
Die abgebildete Schaltung eignet sich zur Auswertung kleiner Widerstandsänderungen, z.B. bei der Verformungsmessung mit Dehnungsmessstreifen.
Prinzipiell handelt es sich bei der abgebildeten Schaltung um die Reihenschaltung zweier Spannungsteiler.
Eine Schaltung nach dem Prinzip der abgebildeten, bei welcher einer der Widerstände veränderlich ist, bezeichnet man auch als Ausschlagsbrücke.
Die Schaltung wird für Differenz-/Kompensationsverfahren verwendet, das heißt die Differenzspannung \(U_\mathrm{d}\) ist im Kompensationsfall Null.
Das Schwerependel
Grundlagen für das Praktikum und Fehlerfortpflanzung.
{button-link} https://kisleif.github.io/mtbook/content/T_Schwerependel.html :color: primary Hier geht's zur Lösung (Jupyter-Notebook)
```{figure} pictures/schwerependel.jpeg
height: 250px name: schwerependel —
In der Vorlesung haben wir das Schwerependel behandelt und die Periodendauer gemessen. Hieraus soll nun die Erdbeschleunigung $g$ inklusive Messunsicherheit im Vorlesungssaal bestimmt werden.
Eine Masse $m$ wird um den Winkel $\varphi_0$ ausgelenkt. Losgelassen pendelt sie mit der Periodendauer $T$. Für kleine Auslenkungen $\varphi$ gilt die Näherung in Abb. \ref{fig:pendel} und man erhält für $T$:
$$
T^2 = \frac{(2\pi)^2}{g}\cdot l
$$
wobei $l$ die Pendellänge ist und $g$ die Erdbeschleunigung (auch Ortsfaktor genannt).
## Grundlagen
### Statistik
Im Vorlesungs-Kapitel [Messunsicherheiten](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_Messunsicherheiten.html) befinden sich alle wichtigen Formeln zur Berechnung der Messunsicherheiten und der Fehlerfortpflanzung. Wenn $x_{j}$ die Einzelmesswerte einer Messreihe sind und $m$ der Stichprobenumfang (= Anzahl der Messwerte in der Messreihe), dann gilt für den Mittelwert:
$$\overline x = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m x_j$$
Für empirische Daten lautet die Varianz:
$$s^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{j=1}^m (x_j - \overline x)^2$$
und die empirische Standardabweichung $s(x)$ der Einzel-Messwerte:
$$s = \sqrt{\frac{1}{m-1} \sum_{j=1}^m (x_j - \overline x)^2}$$
Für die Standardabweichung des Mittelwertes gilt:
$$s(\overline x) = \frac{s}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{1}{m(m-1)} \sum_{j=1}^m (x_j - \overline x)^2}$$
### Vertrauensbereich
Für die erweiterte Messunsicherheit mit Vertrauensbereich wird die Standardabweichung mit dem Erweiterungsfaktor $t$ multipliziert (hier angegeben für die Messunsicherheit des Mittelwertes, daher der Faktor $1/\sqrt{m}$):
$$u_{\overline x} = \pm \frac{t}{\sqrt{m}}\cdot s(x) = \pm t \cdot s(\overline x)$$
Dieser ist ein Maß für den Vertrauensbereich, indem sich eine bestimmte Anzahl von Messwerten befinden:
* 68,3\% aller Messwerte liegen im Bereich $\pm \sigma$
* 95,5\% aller Messwerte liegen im Bereich $\pm 2\sigma$
* 99,7\% aller Messwerte liegen im Bereich $\pm 3\sigma$
Diese Werte gelten für die Normalverteilung. Bei kleinen Stichproben, $m < 25$, muss die Student-t-Verteilung angewendet werden, mittels welcher das Quantil $t$ bestimmt wird und der Vertrauensbereich angepasst wird (siehe Tabelle im Anhang).
### Fehlerfortpflanzung
Angenommen es liegen mehrere Messreihen für verschiedene physikalische Größen vor, $x_{1}$ und $x_{2}$ ,..., aus denen die Größe $y$ mittels funktionalem Zusammenhang ermittelt werden soll, $y = f(x_{1}, x_{2}, ...)$, dann gilt für die Messabweichung von $y$ laut Gauß'schem Fehlerfortpflanzungsgesetz:
$$u_y = \sqrt{\left (\frac{\partial y}{\partial x_1} \cdot u_1 \right)^2 +\left (\frac{\partial y}{\partial x_2} \cdot u_2 \right)^2 +\cdots}$$
Dies gilt, wenn es sich bei mindestens einer Unsicherheit von $u_{1}$ oder $u_{2}$ um eine statistische Messunsicherheiten handelt. Andernfalls sollte der Maximalfehler berechnet werden.
## Aufgaben
### Schrecksekunde - [Statistische Messunsicherheit](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_StatistischeMessunsicherheit.html)
Miss deine persönliche Schrecksekunde indem du 5 mal versuchst bei genau 5s deine Stoppuhr anzuhalten.
Berechne hieraus die Standardabweichung, um die Messunsicherheit für deine persönliche Einzelmessung zu erhalten.
Miss die Perdiodendauer des Pendels und das Ergebnis der Periodendauer inklusive Messunsicherheit an.
### Pendellänge - [Systematische Messunsicherheit](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_SystematischeMessabweichung.html)
Miss die Pendellänge und gib die Messunsicherheit dazu an. Begründe dein Ergebnis.
### Erdbeschleunigung - [Fehlerfortpflanzung](https://kisleif.github.io/mtbook/content/1_Fehlerfortpflanzung.html)
Bestimme aus den oben berechneten besten Schätzwerten für die Periodendauer $\overline T$ und die Pendellänge $\overline l$ mittels der Pendelgleichung
$$
T^2 = \frac{(2\pi)^2}{g}\cdot l
$$
die Erdbeschleunigung $g$.
Bestimme außerdem die Messunsicherheit mittels Fehlerfortpflanzung.
Gebe das Ergebnis für einen Vertrauensbereich von 99,7% an.
### Pendellänge - Diagramm zeichnen
Miss für verschiedene Pendellängen $l$ die Periodendauer $T$. Trage $T^{2}$ gegenüber $l$ in ein Diagramm ein. Trage auch die Fehlerbalken in das Diagramm ein. Bestimme die Erdbeschleunigung mittels einer linearen Regression.
```{button-link} https://kisleif.github.io/mtbook/content/T_Schwerependel.html
:color: primary
Hier geht's zur Lösung (Jupyter-Notebook)
```{figure} pictures/student-t.png
height: 300px name: optional-label — Für die Freiheitsgrade \(s\) und \(p\) gilt: \(s = m-1\), wobei \(m\) die Größe der Stichprobe ist. \(p = 1- \alpha/2\), wobei \(\alpha\) das Signifikanzniveau angibt.
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blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Kurzfrage
tags: Einheiten
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# SI-Einheiten
Nennen Sie alle Grundgrößen des SI-Systems sowie ihre Einheiten und Einheitenzeichen!
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blogpost: true
date: Nov 22, 2023
location: Zettel_7
category: Übung
tags: Messsystem, Tiefpass, Übertragungsfunktion, SNR
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# Signal-Rausch-Verhältnis bei einer Tiefpass-Filterung
Die Güte eines Signals wird in der Systemtheorie über ein Signal-Rausch-Verhältnis (Signal-Noise-Ratio SNR) beschrieben.
Es ist definiert als das Verhältnis der mittleren Nutzsignalleistung zur mittleren Rauschsignalleistung:
$$\mathrm{SNR} = \frac{P_\mathrm{Signal}}{P_\mathrm{Rauschen}}$$
In dieser Aufgabe wird untersucht, wie ein Tiefpass-Filter das Signal-Noise-Ratio (SNR) verbessern kann. Dazu wird das harmonische Signal
$$u_1(t) = 1\,\mathrm V \cos(2\pi\cdot 100\,\mathrm{Hz} \cdot t)$$
angenommen.
Das Signal ist mit einer harmonischen Störung
$$u_2(t) = 0{,}5\,\mathrm V \cos(2\pi \cdot 1\,\mathrm{kHz} \cdot t)$$
überlagert.
Wie lauten die komplexen Koeffizienten $\underline c_k$ der beiden Signale? Berechnen Sie die mittlere Leistung $P$ mithilfe der Fourier-Koeffizienten und dem **Parseval'schen Theorem**:
$$ P = |c_0|^2 + 2 \cdot \sum_{k = 1}^N |\underline c_k|^2$$
Geben Sie das Signal-Noise-Ratio SNR an.
Die Summe der beiden Signale wird von einem RC-Tiefpass gefiltert. Geben Sie die Fourier-Koeffizienten nach der Filterung an. Berechnen Sie das SNR nach einem Tiefpass mit einem Widerstand von $R = 100\,\mathrm{k\Omega}$ und einer Kapazität von $C = 10\,\mathrm{nF}$. Um welchen Faktor hat sich das SNR verbessert? Skizzieren Sie das Spektrum aller Fourier-Koeffizienten.
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blogpost: true
date: Nov 29, 2022
location: Zettel_8
category: Übung
tags: Faltung, Messsystem, Impuls, Sprung, Übertragungsfunktion
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# Sprung- und Impulsantwort und Übertragungsfunktion
Die Sprungantwort eines LTI-Systems lautet
$$
g(t)=\left\{\begin{array}{cl}0&\textrm{für}\,\,t<0\\ 2t&\textrm{für}\,\, 0 \leq t \leq T \\ 2T&\textrm{für}\,\, t > T\end{array}\right.
$$
1. Bestimmen und skizzieren Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems.
2. Wie lautet die Übertragungsfunktion $H(f)$ des Systems? Geben Sie $H(f)$ unter Verwendung der si-Funktion an.
3. Bestimmen Sie den Betrag $|H(f)|$ und die Phase $\varphi(f)$ von $H(f)$.
````{tip}
:class: dropdown
1. Der Impuls ist die Ableitung eines Sprungs. In einem LTI-System gilt, dass die Impulsantwort, $h(t)$, die Ableitung der Sprungantwort, $g(t)$, ist.
2. Die Übertragungsfunktion ist für eine Impulsanregung definiert. Transformiere folglich $h(t)$ in den Frequenzbereich und löse das Integral der Fourier (oder Laplace) Transformation:
$$H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \mathrm e^{-j2\pi ft}dt = ... = 2T \mathrm{si}(\pi f T) \mathrm e^{-j\pi fT}$$
3. Überlegen Sie, was der Betrag einer komplexen e-Funktion ist. Die Funktion $|\mathrm{si}(...)|$ können Sie so stehen lassen. Für die Phase gilt die allgemeine Formel:
$$\varphi(f) = \arctan\left(\frac{Im(H)}{Re(H)}\right)$$
Sprungantwort eines Schwingkreises
Als einfaches Messsystem 2. Ordnung wird ein RLC-Schwingkreis betrachtet. Stellen Sie die Übertragungsfunktion (im Frequenzraum) des RLC-Gliedes durch die Maschengleichung auf. Die Abklingkonstante sei mit \(\delta = \frac{R}{2L}\) definiert und die Eigenkreisfrequenz ist \(\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left( \frac{R}{2L} \right)^2}\). Transformieren Sie die Sprungantwort mittels der Laplace-Tabelle im Anhang zurück in den Zeitbereich und skizzieren Sie diese für verschiedene Dämpfungen (schwach gedämpft \(\delta << \omega_0\), gedämpft, aperiodischer Grenzfall \(\omega_0 = 0\)).
---
blogpost: true
date: Dez 24, 2022
location: Klausur
category: Single-Choice
tags: Sprungantwort
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# Sprungantworten System 2. Ordnung
In nachfolgender Abbildung sind die Sprungantworten dreier – mit A, B und C bezeichneter – linearer Systeme 2. Ordnung dargestellt, welche sich hinsichtlich ihrer Dämpfung $D$ unterscheiden. Geben Sie an, welche Kombination von Dämpfungen $D_\mathrm A$, $D_\mathrm B$ und $D_\mathrm C$ das Verhalten der dargestellten Systeme A, B und C qualitativ am besten beschreibt!
```{figure} pictures/2ordnung.png
:class: .dark-light
---
height: 150px
name: optional-label
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Sprungantworten von Systemen 2. Ordnung
\(D_\mathrm A = 0{,}1\); \(D_\mathrm B = 0{,}3\); \(D_\mathrm C = 0{,}5\);
\(D_\mathrm A = 0{,}5\); \(D_\mathrm B = 1{,}0\); \(D_\mathrm C = 3{,}0\);
\(D_\mathrm A = 1{,}0\); \(D_\mathrm B = 3{,}0\); \(D_\mathrm C = 5{,}0\);
\(D_\mathrm A = 5{,}0\); \(D_\mathrm B = \sqrt{2}/2\); \(D_\mathrm C = 0{,}3\);
Stichprobe Qualitätssicherung
In einer Produktion sollen Spiralfedern mit einer Federkonstsanten \(k_F = (2{,}2 \pm 0{2})\,\mathrm{N/mm}\) (Garantiefehlergrenze) hergestellt werden. Die Qualitätssicherung erfolgt durch eine Stichprobenprüfung an 10 zufällig ausgewählten Federn. Die Federkonstante \(k\) wird aus der Kraft \(F\) und der relativen Wegänderung \(\Delta l\) wie folgt berechnet
\[k = \frac{F}{\Delta l}\]
Die Messeinrichtung besteht aus einer Kraftmesseinrichtung mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von 95% und einer Längenmessung mit einer Aussagewahrscheinlichkeit von 99%.
Kraft \(F\) in N
Weg \(l\) in mm
74,5
32,5
73,2
31,6
75,0
33,0
73,8
31,8
73,4
31,4
74,6
32,6
74,2
32,2
73,0
31,0
74,8
32,4
73,5
31,5
Bestimmen Sie für die Kraftmessung \(F\) die absolute Messabweichung für P = 95%.
Bestimmen Sie für die Längenmessung \(l\) die absolute Messabweichung für P = 95%.
Bestimmen Sie die gesamt Messabweichung für die Federkonstante \(k\) für P = 95%.
png
Stichprobenmessung Windkraftanlagen
Bei einem Hersteller von Windkraftanlagen werden im Rahmen einer Wareneingangsprüfung hochfeste Schrauben hinsichtlich ihrer 0,2%-Dehngrenze \(R_{\mathrm{p0{,}2}}\) untersucht. Dabei wird gemäß DIN EN ISO 898 ein Zugversuch an abgedrehten Schrauben durchgeführt. Aus einer Stichprobenmessung ergibt sich ein Mittelwert der 0,2%-Dehngrenze von \(\overline R = 898{,}7\,\mathrm{N/mm^2}\) und eine Streuung von \(S = 3{,}1\,\mathrm{N/mm^2}\). Die Standardabweichung \(\sigma\) sei unbekannt.
Der minimal erforderliche Stichprobenumfang \(n\), um bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 95\%\) das Konfidenzintervall des Erwartungswertes der 0,2%-Dehngrenze auf maximal \(\pm 2\,\mathrm{N/mm^2}\) abschätzen zu können, beträgt:
\(n = 7\)
\(n = 9\)
\(n = 10\)
\(n = 11\)
\(n = 12\)
Gehen Sie davon aus, dass Mittelwert und Streuung obiger Stichprobe mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit übereinstimmen. Etwa wie viel Prozent aller Schrauben weisen dann eine 0,2%-Dehngrenze auf, die außerhalb des Intervalls von \(895\,\mathrm{N/mm^2} \leq R_{\mathrm{p0{,}2}} \leq 905\,\mathrm{N/mm^2}\) liegt?
\(2{,}1\%\)
\(11{,}7\%\)
\(13{,}8\%\)
\(86{,}2\%\)
\(97{,}9\%\)
png
Stromquelle mit periodischem Rechteckpuls
Eine Stromquelle liefert Ihnen einen periodischen Rechteckpuls laut dem angegebenen Stromzeitdiagramm.
Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert \(\overline i\) von \(i(t)\). Welche Leistung wird bei der Messung im Messinstrument mit einem Innenwiderstand von \(R_i = 0{,}3\,\Omega\) umgesetzt?
png
Systematische Messabweichung
Zwei unbekannte Widerstände \(R\) im \(\mathrm{k\Omega}\)-Bereich werden mit zwei Messschaltungen bestimmt:
```{figure} pictures/strom_spannungsrichtig.png :class: .dark-light — height: 150px name: optional-label — Schaltungen zur Bestimmung von Widerständen nach \(R = U/I\)
* Welches Schaltbild stellt die stromrichtige und welche die spannungsrichtige Schaltung dar?
* Berechnen Sie für beide Fälle den unkorrigierten und korrigierten Widerstandswert. Bei welcher Schaltung ist der relative Fehler kleiner? Benutzen Sie folgende Wert: einen Strom von $I = 2{,}4\mathrm{mA}$, eine Spannung von $U=10\mathrm V$ und Innenwiderstände von $R_{A}=4\Omega$ und $R_{V}= 10\mathrm{k}\Omega$.
* Für welche Grenzwerte von $R$ sollte man strom- bzw. spannungsrichtig messen? Setzen Sie erneut $R_{A} = 4\,\mathrm \Omega$ und $R_{V} = 10\,\mathrm{k\Omega}$.
````{tip}
:class: dropdown
* Schaltung 1 (korrigiert):
$$U = R_KI = R_K\cdot (I-I_V)$$
$$I_V = U / R_{V}$$
$$\Rightarrow R_K = ... = 7{,}14\,\mathrm{k\Omega} $$
$$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta I}{I} = ... = -41\%$$
* Schaltung 2 (korrigiert):
$$U = R_KI $$
$$R_K = R - R_{A}$$
$$\Rightarrow R_K = ... = 4{,}162\,\mathrm{k\Omega} $$
$$\frac{\Delta R}{R} = ... = 0{,}09\%$$
* Schreiben Sie die Formeln für $R$ auf, indem Sie die Reihen- bzw. Parallelschaltung mit $R_A$ und $R_V$ berücksichtigen, und setzen Sie diese beiden Gleichungen gleich. Formen Sie dann nach $R$ um:
$$R = \frac{R_A}{2} \pm \sqrt{\frac{R_A^2}{4} + R_V R_A} \approx 320\,\Omega$$
Systematische Messabweichung II
Zwei unbekannte Widerstände \(R\) im \(\mathrm{k\Omega}\)-Bereich werden mit zwei Messschaltungen bestimmt:
```{figure} pictures/strom_spannungsrichtig.png :class: .dark-light — height: 150px name: optional-label — Schaltungen zur Bestimmung von Widerständen nach \(R = U/I\)
* Welches Schaltbild stellt die stromrichtige und welche die spannungsrichtige Schaltung dar?
* Berechnen Sie für beide Fälle den wahren ($R$) und den gemessenen ($R'$) Widerstandswert.
* Berechnen Sie für beide Fälle den systematischen absoluten und relativen Fehler in Abhängigkeit von $R$ und den Innenwiderständen $R_{A}$ und $R_{V}$ der Messgeräte.
* Zeichnen Sie den Betrag der Fehler in ein Diagramm in Abhängigkeit von $R$ für beide Fälle. Für welche Grenzwerte von $R$ sollte man strom- bzw. spannungsrichtig messen? Setzen Sie $R_{A} = 10\,\mathrm \Omega$ und $R_{V} = 20\,\mathrm{k\Omega}$.
````{admonition} Ergebnisse
:class: dropdown
| Messung | wahrer Wert $R$ | gemessener Wert $R'$ |
| --------|-----------------|----------------------|
| stromrichtig | $R = \frac{U_R}{I} = R'-R_A$ | $R' = \frac{U}{I} = R+R_A$ |
spannungsrichtig | $R = \frac{U}{I_R} = \frac{R'R_V}{R_V-R'}$ | $R' = \frac{U}{I} = \frac{RR_V}{R+R_V}$
| Messung | absoluter Fehler | relativer Fehler |
| --------|-----------------|----------------------|
| stromrichtig | $R'-R = R_A$ | $\frac{R'-R}{R} = \frac{R_A}{R} $
| spannungsrichtig | $R'-R = -\frac{R^2}{R+R_V}$ | $\frac{R'-R}{R} = -\frac{R}{R+R_V} $
* stromrichtig: $R' = R+R_A \approx R$ wenn $R >> R_A$
* spannungsrichtig: $\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_V} \approx \frac{1}{R}$ für $\frac{1}{R} >> \frac{1}{R_V}$ bzw. $R << R_V$
* für die Grenze gleichsetzen...
$$R = \frac{R_{A}}{2} + \sqrt{\frac{R_{A}^2}{4} \cdot R_A R_V} = ... = 452{,}24\,\Omega $$
Temperatursensor PT-100
In der Abbildung finden Sie die Kennlinie des Temperatursensors Pt-100. Geben Sie ausgehend von der Abbildung an, welchen Wert die Empfindlichkeit des Temperatursensors im dargestellten Bereich etwa annimmt!
tempsensor
\(3{,}534\,\mathrm{\Omega / K}\)
\(0{,}3534\,\mathrm{\Omega / K}\)
\(35{,}34\,\mathrm{\Omega / ^\circ C}\)
\(0{,}003534\,\mathrm{\Omega / ^\circ C}\)
\(10{,}0\,\mathrm{\Omega / K}\)
Tiefpass mit Sägezahnspannung
Ein Messgerät mit einem Verzögerungsverhalten 1. Ordnung, also einem Tiefpassverhalten, und einer 3,dB-Grenzfrequenz von \(f_0 = 1\,\mathrm{MHz}\) soll im Folgenden charakterisiert werden.
Skizzieren Sie das elektronische Schaltbild des RC-Tiefpasses 1. Ordnung und leiten Sie die Differentialgleichung her. Wie erhalten Sie hieraus die Übertragungsfunktion
\[G(jf) = \frac{1}{{1 + j \frac{f}{f_0}}}\]
eines Tiefpasses? Geben Sie die Gleichung für den Amplituden- und Phasengang des Messgerätes an.
Das Messgerät wird mit einer periodischen Sägezahnspannung mit einer Amplitude von \(A = 10\,\mathrm V\) und einer Periodendauer von \(T = 2\,\mathrm{\upmu s}\) beaufschlagt. Zerlegen Sie hierfür das in der Abbildung dargestellte Signal in eine Fourier-Reihe: Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten \(a_0\), \(a_k\) und \(b_k\) für \(k = 1,2,3\) und formulieren Sie die drei Eingangsspannungen \(u_{e,k}(t)\).
- Berechnen Sie die drei zugehörigen Ausgangsspannungen und Phasen nachdem die drei Eingangssignale den Tiefpassfilter passiert haben. Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum für Eingangs- und Ausgangssignale.
- Ein hochfrequentes sinusförmiges Störsignal mit einer Frequenz von $100\,\mathrm{MHz}$ liegt nun ebenfalls am Eingang ihres Messgerätes an. Sie können aber guten Gewissens eine Restamplitude von $1\%$ nach dem Tiefpassfilter tolerieren. Erfüllt ihr Messgerät diese Anforderung?
---
blogpost: true
date: Nov 29, 2023
category: Übung
location: Zettel_9
tags: Widerstand, Elektronik, Operationsverstärker
---
# Verstärkerschaltung
Gegeben sei die in der Abbildung dargestellte Verstärkerschaltung mit $R_1 = 1\,\mathrm{k\Omega}$, $R_3 = R_1 || R_2$, wobei der Operationsverstärker eine Temperaturempfindlichkeit von $|U_\mathrm{OS} / \Delta \vartheta | = 2{,}5\mathrm{\mu V / K}$ hat.
```{figure} pictures/OS.png
:class: .dark-light
---
height: 150px
---
Verstärkerschaltung mit Operationsverstärker.
Berechnen Sie die Widerstände für eine Verstärkung von 40dB.
:class: dropdown
40dB ist als Verstärkungsfaktor gegeben, d.h. es gilt $k = 40\,\mathrm{dB}$. Welcher Verstärkung entspricht dies in nicht-dB Einheiten? Zur Umrechnung benutzen Sie $v = 20\cdot \log k$. Außerdem können Sie die Verstärkung in Abhängigkeit von den Widerständen $R_1$ und $R_2$ angeben ($k = R_2/R_1$).
Wie groß darf die Spannung am Eingang maximal werden, wenn die Ausgangsspannung auf 12V begrenzt ist?
:class: dropdown
Für die Verstärkung gilt allgemein: $k = U_a / U_e$...
Der Verstärker soll in einem Temperaturbereich von \(20^\circ\mathrm C\) bis \(80^\circ\mathrm C\) zum Einsatz kommen. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Messbereich, bei dem der Offsetfehler höchstens 1% vom Messbereichsendwert ausmacht.
:class: dropdown
Wie groß ist das gewünschte Temperaturintervall $\Delta \vartheta$? Was für einen maximale Abweichung (in $\mu \mathrm V$) begehen Sie für die angegebene Temperaturempfindlichkeit $|U_\mathrm{OS} / \Delta \vartheta | = 2{,}5\mathrm{\mu V / K}$? Was bedeutet dies für die Abweichung bei Ausgangsspannung, $\Delta U_a = k \cdot \Delta U_e$? Diese Abweichung gegenüber dem Ausgangsmessbereich soll kleiner sein als 1%, also $\Delta U_a / U_{a,\mathrm{min.Messbereich}} < 1%$...
Warenausgangsprüfung
Bei einem Hersteller von Geräten und Zubehör für die Wägetechnik werden im Rahmen einer Warenausgangsprüfung Massestücke hinsichtlich ihrer Masse untersucht. Hierzu wird aus einer gefertigten Charge eine Stichprobe vom Umfang \(n = 25\) entnommen und die mittlere Masse \(m\) mittels einer Präzisionswaage experimentell ermittelt. Aus der Stichprobe ergibt sich ein Mittelwert der Masse von \(\overline m = 99{,}997\,\mathrm g\) und eine Streuung (empirische Abweichung der Einzelmessungen) von \(S_m =0{,}007\,\mathrm g\). Die Standardabweichung \(\sigma\) sei unbekannt.
Das Konfidenzintervall des Erwartungswertes der Masse \(m\) für eine Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 99\%\) beträgt für diesen Fall ungefähr:
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00240)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00326)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00349)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00392)\,\mathrm g; P=99\%\)
\(m=(99{,}997 \pm 0{,}00361)\,\mathrm g; P=99\%\)
Der minimal erforderliche Stichprobenumfang \(n\), um bei einer Aussagewahrscheinlichkeit von \(P = 95\%\) das Konfidenzintervall des Erwartungswertes der Masse auf maximal \(\pm 0{,}004\,\mathrm g\) abschätzen zu können, beträgt:
\(n = 11\)
\(n = 12\)
\(n = 13\)
\(n = 14\)
\(n = 15\)
Gehen Sie davon aus, dass Mittelwert und Streuung obiger Stichprobe mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit übereinstimmen. Etwa wie viel Prozent aller Massestücke weisen dann eine Masse auf, der des Intervalls von \(99{,}99\,\mathrm g \leq m \leq 100{,}01\,\mathrm g\) liegt?
\(310^\circ\mathrm F + 20^\circ\mathrm C + 50\,\mathrm{mK} = \underline{\hspace{2cm}} \mathrm K\)
Widerstandsmessung
Für eine Qualitätskontrolle eines Automobilzulieferers werden 3 Stichproben aus einer Lieferung entnommen und in drei Gruppen A, B, C mit jeweils 12 Widerständen eingeteilt. Komponete A hat einen
\[R_\mathrm{A,soll} = 30\Omega\]
Komponete B hat einen
\[R_\mathrm{B,soll} = 90\Omega\]
Komponete C hat einen
\[R_\mathrm{C,soll} = 120\Omega\]$
Für eine hohe Messgenauigkeit werden die Widerstände mit der Vierleitermethode vermessen. Die Werte der Messung sind in der Tabelle dargestellt.
A
B
C
1
29,73
90,93
120,65
2
29,92
89,73
120,09
3
31,21
88,81
120,40
4
31,56
91,78
121,36
5
30,43
90,66
118,06
6
28,38
87,85
121,76
7
27,23
90,03
121,06
8
30,18
87,13
118,95
9
29,57
87,67
119,72
10
30,30
94,59
120,44
11
25,28
84,40
119,13
12
31,24
86,34
119,36
Zeichnen Sie den Messaufbau bei der Vierleitermethode und erklären Sie die Vorteile dieser Schaltung bezüglich der Messgenauigkeit.
Bestimmen Sie für jede Messreihe A,B, C den Mittelwert und die Standardabweichung. Geben Sie dazu die Toleranzklasse der Widerstände an und die Abweichung des Mittelwerts zum Soll-Widerstandswert Rsoll .
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für jede Messreihe an bei der der Widerstand 20% größer als der Sollwert ist mit der ermittelten Standardabweichung.
Stellen Sie jede Messreihe graphische in einem Histogramm dar mit Hilfe von Matlab oder Python. Zeichen Sie zudem noch die Glockenkurve für jede Messreihe in den Plot ein.
Hinweis: Für alle Messgrößen kann eine Normalverteilung vorausgesetzt werden.
png
Widerstandsmessung
Für die indirekte Widerstandsmessung mittels Strom- und Spannungsmessgerät sind zwei unterschiedliche Schaltungsarten gebräuchlich. Benennen und skizzieren Sie diese! Geben Sie weiterhin an, welche davon für die Messung kleiner Widerstände geeigneter ist!
Zeitkonstante im System 1. Ordnung
Ein lineares System 1. Ordnung mit der Zeitkonstanten \(T\) und dem Übertragungsfaktor \(K = 2\) werde aus dem Beharrungszustand heraus zum Zeitpunkt \(t = 0\) mit einer sprungförmigen Änderung der Eingangsspannung von \(0\,\mathrm V\) auf \(10\,\mathrm V\) beaufschlagt. Welche Spannung wird nach der Zeitdauer \(t = T\) am Ausgang ungefähr anliegen?
\(0\,\mathrm V\)
\(6{,}3\,\mathrm V\)
\(10\,\mathrm V\)
\(12{,}6\,\mathrm V\)
\(20\,\mathrm V\)
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